問題1.2 例4の拡張

12. 例4の微分を使う方法を拡張して示す。
(a) L(t cos ωt) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
f(t) = t cos ωt
f(0) = 0
f’(t) = cos ωt - ωt sin ωt
f’(0) = 1
f’’(t) = - ω sin ωt - ω sin ωt - ω^2 t cos ωt
        = -2ω sin ωt - ω^2 f(t)
であるので、
L(f’’) = s^2 L(f) - s f(t) - f’(t)
から、
L(f’’) = -2ω L(sin ωt) - ω^2 L(f) = s^2 L(f) - 1
となる。sin ωtについてのラプラス変換公式を用いると、
(s^2 + ω^2)L(f) = 1 - 2ωL(sin ωt)
(s^2 + ω^2)L(f) = 1 - 2ω^2/(s^2 + ω^2)
(s^2 + ω^2)L(f) = {s^2 + ω^2 - 2ω^2}/(s^2 + ω^2)
(s^2 + ω^2)L(f) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)
L(f) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
L(t cos ωt) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2

(b) 1/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω^3 (sin ωt - ωt cos ωt)}
L{1/2ω^3 (sin ωt - ωt cos ωt)}
= 1/2ω^3 L(sin ωt) - 1/2ω^2 L(t cos ωt)
= 1/2ω^3 * ω/(s^2 + ω^2) - 1/2ω^2 * (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
= 1/2ω^2(s^2 + ω^2) - (s^2 - ω^2)/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= {(s^2 + ω^2) - (s^2 - ω^2)}/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= 2ω^2/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= 1/(s^2 + ω^2)^2

(c) s/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω t sin ωt}
L{1/2ω t sin ωt}
= 1/2ω L(t sin ωt)
= 1/2ω * 2ωs/(s^2 + ω^2)^2
= 2/(s^2 + ω^2)^2

(d) s^2/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω (sin ωt + ωt cos ωt)}
L{1/2ω (sin ωt + ωt cos ωt)}
= 1/2ω L(sin ωt) + 1/2 L(t cos ωt)
= 1/2ω * ω/(s^2 + ω^2) + 1/2 * (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
= 1/2(s^2 + ω^2) + (s^2 - ω^2)/2(s^2 + ω^2)^2
= {(s^2 + ω^2) + (s^2 - ω^2)}/ 2(s^2 + ω^2)^2
= (2s^2)/2(s^2 + ω^2)^2
= s^2/(s^2 + ω^2)^2

(e) L(t cosh at) = (s^2 + a^2)/(s^2 - a^2)^2
L(t cosh at)
= L{t/2 (exp(at) + exp(-at)}
= 1/2 L(t exp(at)) + 1/2 L(t exp(-at))
= 1/2 * 1/(s-a)^2 + 1/2 * 1/(s+a)^2
= {(s+a)^2 + (s-a)^2}/2(s-a)^2 (s+a)^2
= {s^2 + 2as + a^2 + s^2 - 2as + a^2}/2(s^2 - a^2)^2
= (2s^2 + 2a^2)/2(s^2 - a^2)^2
= (s^2 + a^2)/(s^2 - a^2)^2

(f) L(t sinh at) = 2as/(s^2 - a^2)^2
L(t sinh at)
= L{t/2 (exp(at) - exp(-at))}
= 1/2 L(t exp(at)) - 1/2 L(t exp(-at))
= 1/2 * 1/(s-a)^2 - 1/2 * 1/(s+a)^2
= {(s+a)^2 - (s-a)^2}/2(s+a)^2 (s-a)^2
= {s^2 + 2as + a^2 - s^2 + 2as - a^2}/2(s^2 - a^2)^2
= 4as/2(s^2 - a^2)^2
= 2as/(s^2 - a^2)^2