問題1.1 1階微分方程式の基本的な諸概念

1.y' = x^2
dy/dx = x^2　両辺にdxをかけて
dy = x^2 dx　両辺を積分して
y = 1/3 x^3 + C (Cは積分定数)

2. y' = sin3x
dy/dx = sin3x　両辺にdxをかけて
dy = sin3x dx　両辺を積分して
y = -1/3 cos3x + C (Cは積分定数)

3. y'' = x^(-4)
dy^2/dx^2 = x^(-4)　両辺にdxをかけて
dy^2 = x^(-4) dx^2　両辺を積分して
dy = -1/3 x^(-3) dx + a (aは積分定数)　もう一度両辺を積分して
y = 1/6 x^(-2) + Ax + B (A, Bは積分定数）

4. y' = x exp(-x^2)
dy/dx = x exp(-x^2)　両辺にdxをかけて
dy = x exp(-x^2) dx　これの積分を考えるのは難しいのでexp(-x^2)の微分を考えてみる
(exp(-x^2))' = -2x exp(-x^2)　これでx exp(-x^2)の形が出てきているので、これを応用して
y = -1/2 exp(-x^2) + C (Cは積分定数）

5. y' + y = x^2 - 2  (y = c exp(-x) + x^2 - 2x)
階数はつまり含まれている最大の微分階数なのでこれは1階微分方程式
与えられている解が正しいことを示すには、代入して成り立てばよいのでまずy'は
y' = -c exp(-x) + 2x -2
これを与えられた式に代入する
(左辺)
= y' + y
= -c exp(-x) + 2x -2 + c exp(-x) + x^2 - 2x
= x^2 -2
= (右辺)
ということで、与えられた関数が解であることが証明できた。

6. y'' + y = 0 (y = a cos x + b sin x)
階数は2　2階微分方程式
y' = -a sin x + b cos x
y'' = -a cos x - b sin x
(左辺)
= y'' + y
= -a cos x - b sin x + a cos x + b sin x
= 0
= (右辺)

7. y''' = exp(x) (y= exp(x) + a x^2 + b x + c)
階数:3 3階微分方程式
y' = exp(x) + 2a x + b
y'' = exp(x) + 2a
y''' = exp(x)
(左辺) = y''' = exp(x) = (右辺)

8. y'' + 2y' + 2y = 0 (y = exp(-x) (a cos x + b sin x))
階数:2 2階微分方程式
y' = -exp(-x)(a cos x + b sin x) + exp(-x)(-a sin x + b cos x)
y'' = exp(-x)(a cos x + b sin x) - exp(-x)(-a sin x + b cos x) - exp(-x)(-a sin x + b cos x) + exp(-x)(-a cos x - b sin x)
    = exp(-x){2a sin x - 2b cos x}
(左辺)
= y'' + 2y' + 2y
= exp(-x){2a sin x - 2b cos x} + 2{-exp(-x)(a cos x + b sin x) + exp(-x)(-a sin x + b cos x)} + 2{exp(-x)(a cos x + b sin x)}
= 0
= (右辺)

9. x + yy' = 0 (x^2 + y^2 = 1)
階数 : 2 2階微分方程式
(y^2)' = 2yy'　を用いる
与えられた解より
y^2 = 1 - x^2　両辺をxで微分して
2yy' = -2x
yy' = -x　xを移項して
yy' + x = 0

10. 9の解をx^2 - y^2 = 1にかえると
y^2 = x^2 - 1
2yy' = 2x
yy' = x
yy' - x = 0
ということで、x^2 - y^2 = 1は解ではない

11. 9の解を(x^2 + y^2 = 2)にするまたは(x^2 + y^2 = c) cは任意の数　にする
y^2 = c - x^2　両辺をxで微分して
2yy' = -2x　この時点で9番での1, 任意の数cは微分により消えてしまうので解であることはかわらない
yy' = x
yy' - x = 0

12. x^3 + y^3 y' = 0 (x^4 + y^4 = c (y>0)) 初期条件: x=0 のときy=1
与えられた解が正しいこととcを決定する。解より
y^4 = c - x^4　両辺をxで微分して
4y^3 y' = -4x^3
y^3 y' = -x^3
x^3 + y^3 y' = 0 と解から与えられた式を作ることができるので、解は正しい
初期条件の決定には、解に初期条件を代入して
0^4 + 1^4 = 0 + 1 = 1 = c

13. y' + 2y = 2.8 (y = c exp(-2x) + 1.4) 初期条件: x=0, y=1.0
解より
y' = -2c exp(-2x)　これを与えられた微分方程式に代入して
(左辺)
= y' + 2y
= -2c exp(-2x) + 2{c exp(-2x) + 1.4}
= 2.8
= (右辺)
初期条件を解に代入して
1.0 = c exp(-2 * 0) + 1.4
1.0 = c exp(0) + 1.4
1.0 = c * 1 + 1.4
1.0 = c + 1.4
c = -0.4

14. xy' = 3y (y = cx^3) 初期条件 : x = -4, y = 16
解より
y' = 3c x^2　これを与えられた微分方程式に代入して
(左辺)
=  xy'
= x 3c x^2
= 3c x^3
= 3y
= (右辺)
初期条件を解に代入して
16 = c (-4)^3
16 = -64c
c = -1/4

15. yy' = 2x (y^2 - 2x^2 = c (y>0)) 初期条件:y(1) = √3
解より
y^2 = c + 2x^2　両辺をxで微分すると
2yy' = 4x
yy' = 2x　解から与式を導出できるので、解は正しい
初期条件x = 1のときy=√3を解に代入すると
(√3)^2 - 2 1^2 = c
3 - 2 * 1 = c
3 - 2 = c
1 = c

16. y' = y tan x (y = c sec x) 初期条件 : y(0) = π/2
ちなみにsec x = 1/cos x
y' = c sin x / (cos x)^2
(左辺)
= c sin x / (cos x)^2
= c sin x / cos x * 1/cos x
= c tan x * sec x
= y tan x
= (右辺)
初期条件を解に代入して
π/2 = c sec 0
π/2 = c/cos 0
π/2 = c/1
c = π/2

17. 4yy' + x = 0 (x^2 + 4y^2 = c (y>0)) 初期条件 : y(2) = 1
解より
4y^2 = c - x^2　両辺をxで微分すると
8yy' = -2x
4yy' = -x
4yy' + x = 0　解から導出できるので、解は正しい
初期条件を解に代入して
2^2 + 4 * 1^2 = c
4 + 4 = c
c = 8

18. aを任意定数として、問題17の初期条件をy(a) = 0にかえたら何がおこるか
初期条件を解に代入して
0^2 + 4 * a^2 = c
c = 4 a^2
積分定数がこのようになる