問題1.1 1階微分方程式の基本的な諸概念

1.y' = x^2
dy/dx = x^2　両辺にdxをかけて
dy = x^2 dx　両辺を積分して
y = 1/3 x^3 + C (Cは積分定数)

2. y' = sin3x
dy/dx = sin3x　両辺にdxをかけて
dy = sin3x dx　両辺を積分して
y = -1/3 cos3x + C (Cは積分定数)

3. y'' = x^(-4)
dy^2/dx^2 = x^(-4)　両辺にdxをかけて
dy^2 = x^(-4) dx^2　両辺を積分して
dy = -1/3 x^(-3) dx + a (aは積分定数)　もう一度両辺を積分して
y = 1/6 x^(-2) + Ax + B (A, Bは積分定数）

4. y' = x exp(-x^2)
dy/dx = x exp(-x^2)　両辺にdxをかけて
dy = x exp(-x^2) dx　これの積分を考えるのは難しいのでexp(-x^2)の微分を考えてみる
(exp(-x^2))' = -2x exp(-x^2)　これでx exp(-x^2)の形が出てきているので、これを応用して
y = -1/2 exp(-x^2) + C (Cは積分定数）

5. y' + y = x^2 - 2  (y = c exp(-x) + x^2 - 2x)
階数はつまり含まれている最大の微分階数なのでこれは1階微分方程式
与えられている解が正しいことを示すには、代入して成り立てばよいのでまずy'は
y' = -c exp(-x) + 2x -2
これを与えられた式に代入する
(左辺)
= y' + y
= -c exp(-x) + 2x -2 + c exp(-x) + x^2 - 2x
= x^2 -2
= (右辺)
ということで、与えられた関数が解であることが証明できた。

6. y'' + y = 0 (y = a cos x + b sin x)
階数は2　2階微分方程式
y' = -a sin x + b cos x
y'' = -a cos x - b sin x
(左辺)
= y'' + y
= -a cos x - b sin x + a cos x + b sin x
= 0
= (右辺)

7. y''' = exp(x) (y= exp(x) + a x^2 + b x + c)
階数:3 3階微分方程式
y' = exp(x) + 2a x + b
y'' = exp(x) + 2a
y''' = exp(x)
(左辺) = y''' = exp(x) = (右辺)

8. y'' + 2y' + 2y = 0 (y = exp(-x) (a cos x + b sin x))
階数:2 2階微分方程式
y' = -exp(-x)(a cos x + b sin x) + exp(-x)(-a sin x + b cos x)
y'' = exp(-x)(a cos x + b sin x) - exp(-x)(-a sin x + b cos x) - exp(-x)(-a sin x + b cos x) + exp(-x)(-a cos x - b sin x)
    = exp(-x){2a sin x - 2b cos x}
(左辺)
= y'' + 2y' + 2y
= exp(-x){2a sin x - 2b cos x} + 2{-exp(-x)(a cos x + b sin x) + exp(-x)(-a sin x + b cos x)} + 2{exp(-x)(a cos x + b sin x)}
= 0
= (右辺)

9. x + yy' = 0 (x^2 + y^2 = 1)
階数 : 2 2階微分方程式
(y^2)' = 2yy'　を用いる
与えられた解より
y^2 = 1 - x^2　両辺をxで微分して
2yy' = -2x
yy' = -x　xを移項して
yy' + x = 0

10. 9の解をx^2 - y^2 = 1にかえると
y^2 = x^2 - 1
2yy' = 2x
yy' = x
yy' - x = 0
ということで、x^2 - y^2 = 1は解ではない

11. 9の解を(x^2 + y^2 = 2)にするまたは(x^2 + y^2 = c) cは任意の数　にする
y^2 = c - x^2　両辺をxで微分して
2yy' = -2x　この時点で9番での1, 任意の数cは微分により消えてしまうので解であることはかわらない
yy' = x
yy' - x = 0

12. x^3 + y^3 y' = 0 (x^4 + y^4 = c (y>0)) 初期条件: x=0 のときy=1
与えられた解が正しいこととcを決定する。解より
y^4 = c - x^4　両辺をxで微分して
4y^3 y' = -4x^3
y^3 y' = -x^3
x^3 + y^3 y' = 0 と解から与えられた式を作ることができるので、解は正しい
初期条件の決定には、解に初期条件を代入して
0^4 + 1^4 = 0 + 1 = 1 = c

13. y' + 2y = 2.8 (y = c exp(-2x) + 1.4) 初期条件: x=0, y=1.0
解より
y' = -2c exp(-2x)　これを与えられた微分方程式に代入して
(左辺)
= y' + 2y
= -2c exp(-2x) + 2{c exp(-2x) + 1.4}
= 2.8
= (右辺)
初期条件を解に代入して
1.0 = c exp(-2 * 0) + 1.4
1.0 = c exp(0) + 1.4
1.0 = c * 1 + 1.4
1.0 = c + 1.4
c = -0.4

14. xy' = 3y (y = cx^3) 初期条件 : x = -4, y = 16
解より
y' = 3c x^2　これを与えられた微分方程式に代入して
(左辺)
=  xy'
= x 3c x^2
= 3c x^3
= 3y
= (右辺)
初期条件を解に代入して
16 = c (-4)^3
16 = -64c
c = -1/4

15. yy' = 2x (y^2 - 2x^2 = c (y>0)) 初期条件:y(1) = √3
解より
y^2 = c + 2x^2　両辺をxで微分すると
2yy' = 4x
yy' = 2x　解から与式を導出できるので、解は正しい
初期条件x = 1のときy=√3を解に代入すると
(√3)^2 - 2 1^2 = c
3 - 2 * 1 = c
3 - 2 = c
1 = c

16. y' = y tan x (y = c sec x) 初期条件 : y(0) = π/2
ちなみにsec x = 1/cos x
y' = c sin x / (cos x)^2
(左辺)
= c sin x / (cos x)^2
= c sin x / cos x * 1/cos x
= c tan x * sec x
= y tan x
= (右辺)
初期条件を解に代入して
π/2 = c sec 0
π/2 = c/cos 0
π/2 = c/1
c = π/2

17. 4yy' + x = 0 (x^2 + 4y^2 = c (y>0)) 初期条件 : y(2) = 1
解より
4y^2 = c - x^2　両辺をxで微分すると
8yy' = -2x
4yy' = -x
4yy' + x = 0　解から導出できるので、解は正しい
初期条件を解に代入して
2^2 + 4 * 1^2 = c
4 + 4 = c
c = 8

18. aを任意定数として、問題17の初期条件をy(a) = 0にかえたら何がおこるか
初期条件を解に代入して
0^2 + 4 * a^2 = c
c = 4 a^2
積分定数がこのようになる

常微分方程式

しばらくぶりになります。
えー、実はテストが近いです。私の通わせていただいている大学では、ここまで述べてきているラプラス変換と、あと常微分方程式で一つの授業で、今回近づいている部分が常微分方程式部分なんですね。
内容的にも、常微分方程式をラプラス変換を使って解こう！みたいなのがあるので、近いわけでして、テスト前の復習がてら、このブログに解法をアップしちゃえば、自分の復習としても、これから先、常微分方程式を勉強する人にしてもいい感じになるんじゃないかと思いまして、少々ラプラス変換の記事はお休みします（というか半年放置してましたが）。常微分方程式の方にもおつきあいくだされば幸いです。

使用しているテキストは、ラプラス変換の方でも用いている「技術者のための高等数学 Advanced Engineering Mathmatics」その「１　常微分方程式」E.クライツィグ著です。ちなみに８版。ラプラス変換は3冊目ですね。

答えが記載されていない偶数問題に関しても解いています。これ違うんじゃないかと思われるところがありましたら、ご指摘くだされば幸いです。

問題1.3 ラプラス逆変換

14. 4{exp(-2s) - 2exp(-5s)}/s
= 4 exp(-2s)/s - 8 exp(-5s)/s
= 4L{u(t-2)} - 8 L{u(t-5)}
= L{4u(t-2) - 8u(t-5)}

15. exp(-3s)/s^3
= exp(-3s) 2!/s^3・1/2!
= 1/2・exp(-3s)2!/s^3
= 1/2 L{(t-3)^2 u(t-3)}
= L{(t-3)^2/2 u(t-3)}

16. exp(-3s) / (s-1)^3
= exp(-3s) 2!/(s-1)^3・1/2!
= 1/2・exp(-3s)2!/(s-1)^3
= 1/2 L{(t-3)^2 exp(t-3)}
= L{(t-3)^2 exp(t-3) / 2}

17. 3(1 - exp(-πs)) / (s^2 + 9)
= 3/(s^2 + 3^2) - 3exp(-πs) / (s^2 + 3^2)
= L{sin(3t)} - L{u(t-π) cos3(t-π)}
= L{sin(3t)} + L{u(t-π)sin(3t)}
= L{(1 + u(t-π))sin(3t)}

18. exp(-2πs) / (s^2 + 2s + 2)
= exp(-2πs) /{(s+1)^2 + 1}
= L{u(t-2π) exp(-(t-2π)) sin ω(t-2π)}
= L{exp(2π - t) u(t - 2π) sin ω(t-2π)}

19. s exp(-2s) / (s^2 + π^2)
= exp(-2s) s/(s^2 + π^2)
= L{u(t-2) cos π(t-2)}
= L{u(t-2) cosπt cos2π + sinπt sin 2π}
= L{u(t-2) cosπt}

問題1.3 ラプラス変換

8. t^2 (0< t <1)
これを単位階段関数を用いて表すと
t^2 u(t) - t^2 u(t-1)
L{t^2 u(t) - t^2 u(t-1)}
= L{t^2 u(t)} - L{t^2 u(t-1)}
= L{t^2 u(t)} - L{(t-1)^2 u(t-1)} + 2L{(t-1) u(t-1)} + L{u(t-1)}
= 2!/s^3 * exp(0)/s - exp(-s) * 2!/s^3 + 2 exp(-s)* 1!/s^2 + exp(-s) / s
= 2/s^4 - 2 exp(-s) / s^3 + 2 exp(-s) / s^2 + exp(-s) / s
= 2s^(-4) - 2s^(-3) exp(-s) + 2s^(-2) exp(-s) + s^(-1) exp(-s)

9. sin ωt (0< t < π/ω)
これを単位階段関数を用いて表すと
u(t)sin ωt - u(t - π/ω)sin ωt
L{u(t)sin ωt - u(t - π/ω) sin ωt}
= L{u(t) sin ωt} + L{u(t - π/ω) sin ω(t-π)}
= ω/(s^2 + ω^2) + ω exp(-πs/ω)/{(s-π/ω)^2 + ω^2}
= {ω{(s - π/ω)^2 + ω^2} + ω exp(-πs/ω)(s^2 + ω^2)}/ (s^2+ω^2){(s-π/ω)^2 + ω^2}
= ω{1+exp(-πs/ω)}/(s^2 + ω^2)

10. 1- exp(-t) (0<t<2)
これを単位階段関数を用いて表すと
u(t) {1 - exp(-t)} - u(t-2){1 - exp(-t)}
L{u(t){1 - exp(-t)} - u(t-2){1 - exp(-t)}}
= L{u(t)} - L{u(t)exp(-t)} - L{u(t-2)} + L{u(t-2)exp(-(t-2))}
= exp(-0)/s - exp(0)/(s+1) - exp(-2s)/s + exp(-2)L{exp(-(t-2))u(t-2)}
= 1/s - 1/(s+1) - exp(-2s)/s + exp(-2)exp(-2x)/(s+1)
= (1 - exp(-2s)/s + (exp(-2s-2) - 1)/(s+1)

11. exp(t) (0<t<1)
これを単位階段関数を用いて表すと
exp(t)u(t) - exp(t)u(t-1)
L{exp(t) u(t) - exp(t) u(t-1)}
= L{exp(t) u(t)} - e L{exp(t-1) u(t-1)}
= exp(0) / (s-1) - e・exp(-s)/(s-1)
= (1 - exp(1-s))/(s-1)

12. sin t (2π < t < 4π)
これを単位階段関数を用いて表すと
u(t - 2π)sin(t) - u(t - 4π)sin(t)
L{u(t - 2π)sin(t) - u(t - 4π) sin(t)}
= L{u(t - 2π)sin(t - 2π)} - L{u(t - 4π)sin(t - 4π)}
= exp(-2πs) / (s^2 + 1) - exp(-4πs) / (s^2 + 1)
= {exp(-2πs) - exp(-4πs)} / (s^2 + 1)

13. 10cos(πt) (1<t<2)
これを単位階段関数を用いて表すと
u(t-1)・10cos(πt) - u(t-2)・10cos(πt)
 L{10u(t-1)cos(πt) - 10 u(t-2)cos(πt)}
= - 10 L{u(t-1)cosπ(t-1)} - 10 L{u(t-2)cosπ(t-2)}
= -10s exp(-s)/(s^2 + π^2) - 10s exp(-2s)/(s^2 + π^2)
= -10(exp(-s) + exp(-2s))/(s^2 + π^2)

問題1.3 ラプラス変換

単位階段関数
u(t-a) = 0 (t<a)
             1(a<t)
第二移動定理
L{f(t-a)u(t-a)} = exp(-at) F(s)
単位階段関数の変換
L{u(t-a)} = exp(-as) / s
これらを用いてラプラス変換を解く

2. t u(t-1)
L(t u(t-1))
= L{(t-1)u(t-1) + u(t-1)}
= L{(t-1)u(t-1)} + L{u(t-1)}
= exp(-t)/s^2 + exp(-t)/s
= exp(-t){1/s^2 + 1/s}

3. (t-1) u(t-1)
L{(t-1) u(t-1)}
= exp(-s)/s^2

4. (t-1)^2 u(t-1)
L{(t-1)^2 u(t-1)}
= 2!/s^3 exp(-t)

5. t^2 u(t-1)
L{t^2 u(t-1)}
= L{(t-1)^2 u(t-1)} + 2L{(t-1)u(t-1)} + L{u(t-1)}
= 2!/s^3 exp(-s) + 2/s^2 exp(-s) + 1/s exp(-s)
= exp(-s) {2s^(-3) + 2s^(-2) + s^(-1)}

6. exp(-2t) u(t-3)
L{exp(-2t) u(t-3)}
= L{exp(-2(t-3)) exp(-6) u(t-3)}
= exp(-6) L{exp(-2(t-3)) u(t-3)}
= exp(-6) * exp(-3s) /(s+2)
= exp(-6-3s)/(s+2)

7. 4 u(t-π) cos t
L(4 u(t-π) cos t)
= -4L{u(t-π) cos(t-π)}
= -4 exp(-πs) * s/(s^2 + 1)
= -4s exp(-πs)/(s^2 + 1)

問題1.2 積分による新しい逆変換

13. 1/(s^2 + 4s)
1/(s^2 + 4s)
= 1/s(s+4)
= 1/4 {1/s - 1/(s+4)}
= 1/4 *1/s - 1/4 * 1/(s+4)
= 1/4 L(1) - 1/4 L(exp(-4t)
= L(1/4 (1 - exp(-4t))

14. 4/(s^3 - 2s^2)
4/(s^3 - 2s^2)
= 4/s^2(s-2)
= 2/s(s-2) - 2/s^2}
= 1/(s-2) - 1/s - 1/s^2
= L(exp(2t)) - L(1) - L(t)
= L(exp(2t) - 1 - t)

15. 1/s(s^2 + ω^2)
1/s(s^2 + ω^2)
= 1/ω^2 (1/s - s/(s^2 + ω^2))
= 1/ω^2 * 1/s - 1/ω^2 * s/(s^2 + ω^2)
= 1/ω^2 L(1) - 1/ω^2 *L(cos ωt)
= L(1/ω^2 - 1/ω^2 cos ωt)
= L{1/ω^2 (1 - cos ωt)}

16. 1/(s^5 + s^3)
= 1/s^3(s^2 + 1)
= 1/s^3 - 1/s(s^2 + 1)
= 1/s^3 - 1/s + s/(s^2 + 1)
= 1/2 L(t^2) - L(1) + L(cos t)
= L(t^2/2 - 1 + cos t)

17. 1/(s^3 - s)
= 1/s(s^2 - 1)
= s/(s^2 - 1) - 1/s
= L(cosh t) - L(1)
= L(cosh t - 1)

18. 1/s^2 * (s-1)/(s+1)
= 2/s(s+1) - 1/s^2
= 2{1/s - 1/(s+1)} - 1/s^2
= 2L(1) - 2L(exp(-t)) - L(t)
= L(2 - 2exp(-t) - t)

19. 9/s^2 * (s+1)/(s^2 + 9)
= 9s/s^2(s^2 + 9) + 9/s^2(s^2 + 9)
= s{1/s^2 - 1/(s^2 + 9)} + {1/s^2 - 1/(s^2 + 9)}
= 1/s - s/(s^2 + 3^2) + 1/s^2 - 1/3 * 3/(s^2 + 3^2)
= L(1) - L(cos 3t) + L(t) - 1/3 L(sin 3t)
= L(1 - cos 3t + t - 1/3 sin 3t)
= L(1 + t - cos 3t - 1/3 sin 3t)

問題1.2 例4の拡張

12. 例4の微分を使う方法を拡張して示す。
(a) L(t cos ωt) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
f(t) = t cos ωt
f(0) = 0
f’(t) = cos ωt - ωt sin ωt
f’(0) = 1
f’’(t) = - ω sin ωt - ω sin ωt - ω^2 t cos ωt
        = -2ω sin ωt - ω^2 f(t)
であるので、
L(f’’) = s^2 L(f) - s f(t) - f’(t)
から、
L(f’’) = -2ω L(sin ωt) - ω^2 L(f) = s^2 L(f) - 1
となる。sin ωtについてのラプラス変換公式を用いると、
(s^2 + ω^2)L(f) = 1 - 2ωL(sin ωt)
(s^2 + ω^2)L(f) = 1 - 2ω^2/(s^2 + ω^2)
(s^2 + ω^2)L(f) = {s^2 + ω^2 - 2ω^2}/(s^2 + ω^2)
(s^2 + ω^2)L(f) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)
L(f) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
L(t cos ωt) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2

(b) 1/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω^3 (sin ωt - ωt cos ωt)}
L{1/2ω^3 (sin ωt - ωt cos ωt)}
= 1/2ω^3 L(sin ωt) - 1/2ω^2 L(t cos ωt)
= 1/2ω^3 * ω/(s^2 + ω^2) - 1/2ω^2 * (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
= 1/2ω^2(s^2 + ω^2) - (s^2 - ω^2)/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= {(s^2 + ω^2) - (s^2 - ω^2)}/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= 2ω^2/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= 1/(s^2 + ω^2)^2

(c) s/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω t sin ωt}
L{1/2ω t sin ωt}
= 1/2ω L(t sin ωt)
= 1/2ω * 2ωs/(s^2 + ω^2)^2
= 2/(s^2 + ω^2)^2

(d) s^2/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω (sin ωt + ωt cos ωt)}
L{1/2ω (sin ωt + ωt cos ωt)}
= 1/2ω L(sin ωt) + 1/2 L(t cos ωt)
= 1/2ω * ω/(s^2 + ω^2) + 1/2 * (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
= 1/2(s^2 + ω^2) + (s^2 - ω^2)/2(s^2 + ω^2)^2
= {(s^2 + ω^2) + (s^2 - ω^2)}/ 2(s^2 + ω^2)^2
= (2s^2)/2(s^2 + ω^2)^2
= s^2/(s^2 + ω^2)^2

(e) L(t cosh at) = (s^2 + a^2)/(s^2 - a^2)^2
L(t cosh at)
= L{t/2 (exp(at) + exp(-at)}
= 1/2 L(t exp(at)) + 1/2 L(t exp(-at))
= 1/2 * 1/(s-a)^2 + 1/2 * 1/(s+a)^2
= {(s+a)^2 + (s-a)^2}/2(s-a)^2 (s+a)^2
= {s^2 + 2as + a^2 + s^2 - 2as + a^2}/2(s^2 - a^2)^2
= (2s^2 + 2a^2)/2(s^2 - a^2)^2
= (s^2 + a^2)/(s^2 - a^2)^2

(f) L(t sinh at) = 2as/(s^2 - a^2)^2
L(t sinh at)
= L{t/2 (exp(at) - exp(-at))}
= 1/2 L(t exp(at)) - 1/2 L(t exp(-at))
= 1/2 * 1/(s-a)^2 - 1/2 * 1/(s+a)^2
= {(s+a)^2 - (s-a)^2}/2(s+a)^2 (s-a)^2
= {s^2 + 2as + a^2 - s^2 + 2as - a^2}/2(s^2 - a^2)^2
= 4as/2(s^2 - a^2)^2
= 2as/(s^2 - a^2)^2