問題1.3 ラプラス変換

単位階段関数
u(t-a) = 0 (t<a)
             1(a<t)
第二移動定理
L{f(t-a)u(t-a)} = exp(-at) F(s)
単位階段関数の変換
L{u(t-a)} = exp(-as) / s
これらを用いてラプラス変換を解く

2. t u(t-1)
L(t u(t-1))
= L{(t-1)u(t-1) + u(t-1)}
= L{(t-1)u(t-1)} + L{u(t-1)}
= exp(-t)/s^2 + exp(-t)/s
= exp(-t){1/s^2 + 1/s}

3. (t-1) u(t-1)
L{(t-1) u(t-1)}
= exp(-s)/s^2

4. (t-1)^2 u(t-1)
L{(t-1)^2 u(t-1)}
= 2!/s^3 exp(-t)

5. t^2 u(t-1)
L{t^2 u(t-1)}
= L{(t-1)^2 u(t-1)} + 2L{(t-1)u(t-1)} + L{u(t-1)}
= 2!/s^3 exp(-s) + 2/s^2 exp(-s) + 1/s exp(-s)
= exp(-s) {2s^(-3) + 2s^(-2) + s^(-1)}

6. exp(-2t) u(t-3)
L{exp(-2t) u(t-3)}
= L{exp(-2(t-3)) exp(-6) u(t-3)}
= exp(-6) L{exp(-2(t-3)) u(t-3)}
= exp(-6) * exp(-3s) /(s+2)
= exp(-6-3s)/(s+2)

7. 4 u(t-π) cos t
L(4 u(t-π) cos t)
= -4L{u(t-π) cos(t-π)}
= -4 exp(-πs) * s/(s^2 + 1)
= -4s exp(-πs)/(s^2 + 1)