問題1.1 第1移動定理の応用 ラプラス変換

第一移動定理は

L{exp(at) f(t)} = F(s-a)

L{exp(at) cos ωt} = (s-a)/{(s-a)^2 + ω^2}

L{exp(at) sin ωt} = ω/{(s-a)^2 + ω^2}

L{t^n exp(at)} = n!/(s-a)^(n+1)

29. t^2 exp(-3t)

L(t^2 exp(-3t))

= 2!/(s+3)^3

30. exp(-αt) cos βt

L(exp(-αt) cos βt)

= (s-α)/{(s-α)^2 + β^2}

31. 5exp(2t) sinh 2t

L(sinh at) = a/(s^2 - a^2)

より、第一移動定理を用いると

L{exp(at) sinh βt} = β/{(s-a)^2 - a^2}

であるので、次のように解ける。

L{5exp(2t) sinh 2t}

= 5L{exp(2t) sinh 2t}

= 5 * 2/{(s-2)^2 - 4}

= 10/{(s-2)^2 - 4}

= 10/s(s-4)

32. 2exp(-t) (cos t/2)^2

(cos t)^2 = 1/2 {1+ cos 2t}

を用いる。

2exp(-t) cos(t/2)^2

= exp(-t) cos t

L{exp(-t) cos t}

= (s+1)/{(s+1)^2 + 1}

33. sinh t cos t

= 1/2 {exp(t) - exp(-t)}cos t

= 1/2 {exp(t) cos t} - 1/2{exp(-t) cos t}

L{exp(t) cos t} = (s-1)/{(s-1)^2 + 1}

L{exp(-t) cos t} = (s+1)/{(s+1)^2 + 1}

を用いる。

L{sinh t cos t}

= 1/2 * (s-1)/{(s-1)^2 + 1} - 1/2 * (s+1)/{(s+1)^2 + 1}

= (s^2 - 2) / (s^4 + 4)

34. (t+1)^2 exp(t)

L{(t+1)^2 exp(t)}

=L{t^2 exp(t) + 2t exp(t) + exp(t)}

= 2!/(s-1)^3 + 2 * 1!/(s-1)^2 + 1/(s-1)

= 2/(s-1)^3 + 2/(s-1)^2 + 1/(s-1)