問題1.2 異なる方法による導出

11. L((cos t)^2)

(a)例3の結果を使う方法で値を求める

例3の結果とは

L((sin t)^2) = 2/s(s^2+4)

である。

(sin t)^2 + (cos t)^2 = 1

(cos t)^2 = 1 - (sin t)^2

L((cos t)^2)

= L(1 - (sin t)^2)

= L(1) - L((sin t)^2)

= 1/s - 2/s(s^2+4)

= (s^2 + 4 - 2)/s(s^2 + 4)

=(s^2 + 2)/s(s^2 + 4)

(b)例3の方法を使う

f(t) = (cos t)^2, f(0) = 1, f’(t) = -2sin t cos t = -sin 2t

L(y’) = sL(y) - y(0)

L(-sin 2t) = - 2/(s^2 + 4) = sL((cos t)^2) - f(0) = sL((cos t)^2) - 1

sL((cos t)^2) = - 2/(s^2 + 4) + 1

sL((cos t)^2) = (s^2 + 4 - 2) / (s^2 + 4)

sL((cos t)^2) = (s^2 + 2)/(s^2 + 4)

L((cos t)^2) = (s^2 + 2)/s(s^2 + 4)

(c)(cos t)^2 をcos 2tで表す方法を使う

(cos t)^2 = 1/2 {1 + cos 2t} = 1/2 + 1/2 cos2t

L((cos t)^2)

= L(1/2 + 1/2 cos 2t)

= 1/2 L(1) + 1/2 L(cos 2t)

= 1/2s + 1/2 * s/(s^2 + 4)

= 1/2s + s/2(s^2 + 4)

= {(s^2 + 4) + s^2}/2s(s^2+4)

= (2s^2 + 4)/2s(s^2+4)

= (s^2 + 2)/s(s^2 + 4)