問題1.1 ラプラス変換

次の関数のラプラス変換を求めよ。

1. 2t+6

　答え自体は変換表を見れば、

2/s^2 + 6/s　（注、2/s^2はs二乗分の2の意）

と、即座に答えが出るのだが、この問題の意図としては、ラプラス変換の公式に当てはめて回答せよということなので、公式に当てはめて答える。
公式　F(s) = L(f) = ∫(0~∞) exp(-st) f(t) dt　（注、exp(-st)は、自然底数eの-st乗の意)
F(s) = L(2t+6)
       = ∫(0~∞) exp(-st) (2t+6) dt
       = 2∫(0~∞) t exp(-st) dt + 6∫(0~∞) exp(-st) dt　　積分は分けて計算する
       = 2∫(0~∞) t (-1/s exp(-st))’ dt + 6∫(0~∞) (-1/s exp(-st))’dt
       = 2[-1/s exp(-st)](0~∞) - 2∫(0~∞) 1 (-1/s) exp(-st) dt  + 6[-1/s exp(-st)](0~∞)
この部分の式変形には、部分積分法を使う。部分積分法は数IIIにあるはず。
       = 2(0-0) - 2(-1/s) ∫(0~∞) (-1/s exp(-st))’ dt  + 6(0 - (-1/s))
       = 2/s[-1/s^2 exp(-st)](0~∞) +6/s
       = 2/s^2 + 6/s
と以上のようにして、答えが出せる。t^nの場合は部分積分を使うことと、exp(-st)を微分すると -s exp(-st)となることを繰り返して使うことで解を求められる。

2. a + bt + ct^2
1と同様にすればいいので解き方は省略。
a/s + b/s^2 + 2c/s^3

3. sin(πt)
sin(x)の微分はcos(x)、cos(x)の微分は-sin(x)ということで、二回微分するともとに戻ることと、部分積分法を利用する。
F(s) = L(sin(πt))
       = ∫ exp(-st) sin(πt) dt
       = ∫ (-1/s exp(-st))’ sin(πt) dt
       = [-1/s exp(-st) sin(πt)](0~∞) + π/s ∫ exp(-st) cos(πt) dt
       = 0 + π/s ∫ (-1/s exp(-st))’ cos(πt) dt
       = π/s[-1/s exp(-st) cos(πt)](0~∞)  - π/s∫ (-1/s) exp(-st) (-πsin(πt)) dt
       = π/s(0 - (-1/s)) - π^2/s^2 ∫ exp(-st) sin(πt) dt
       = π/s^2 - π^2/s^2 L(sinπt)
つまり、L(sinπt) = π/s^2 - π^2/x^2 L(sinπt)
あとはこれを式変形して解けば良い。なので答えは
π/(s^2 + π^2)

4. (cosωt)^2
倍角の公式を使って、２乗を取ると、3番と同様の方法を用いることができる。
(cosωt)^2 = 1/2 (1 + cos 2ωt)
L(1/2 + 1/2 cos 2ωt)
 = ∫ exp(-st) (1/2 + 1/2 cos 2ωt) dt
 = 1/2 ∫ exp(-st) dt + 1/2 ∫ exp(-st) cos 2ωt dt
 = 1/2 L(1) + 1/2 L(cos2ωt)
 = 1/2s + 1/2[-1/s exp(-st) cos 2ωt] + 1/2s ∫ -2ω exp(-st) sin 2ωt dt
 = 1/2s + 1/2s - ω/s ∫ exp(-st) sin 2ωt dt
 = 1/s - ω/s ∫ (-1/s exp(-st))’ sin 2ωt dt
 = 1/s - ω/s [-1/s exp(-st) sin 2ωt] + ω/s ∫ -1/s exp(-st) 2ω cos 2ωt dt
 = 1/s - ω/s(0 - 0) - 2ω^2/s^2 L(cos2ωt)
 = 1/s - 2ω^2/s^2 L(cos2ωt)
L(cos2ωt) = s/(s^2 + 4ω^2)
となるので、解は
(s^2 + 4ω^2) / s(s^2 + 4ω^2)

5. exp(a-bt)
L(exp(a-bt))
 = ∫ exp(-st) exp(a-bt) dt
 = ∫ exp(-st) exp(a) exp(-bt) dt
 = exp(a) ∫ exp(-st-bt) dt
 = exp(a) ∫ (-1/(s+b) exp(-st-bt))’ dt
 = exp(a) [-1/(s+b) exp(-st-bt)]
 = exp(a) / (s+b)
指数の法則をうまく使うのがコツ

ここから先は入力が少々面倒になったというか、冗長になると余計に分かりにくいので少々省略。いくつかの関数とそれらのラプラス変換の表1.1を参照して解ける程度に端折ります。

6. exp(t) cosh3t
cosh x = 1/2(exp(x) + exp(-x))
を使うと、（与式) = 1/2 exp(4t) + 1/2 exp(-2t)
L(exp(t) cosh 3t)
= L(1/2 exp(4t) + 1/2 exp(-2t))
= 1/2 L(exp(4t)) + 1/2 L(exp(-2t))
= 1/2 * 1/(s-4) + 1/2 * 1/(s+2)
= (s-1) / (s+2)(s-4)

7. sin(ωt + σ)
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
を使うと、cos σは定数になる。
L(sin (ωt + σ))
= cos σ L(sin ωt) + sin σ L(cos ωt)
= cos σ * ω/(s^2 + ω^2) + sin σ * s/(s^2 + ω^2)
= (ω cos σ + s sin σ) / (s^2 + ω^2)

8. sin 2t cos 2t
sin a cos a = 1/2 sin 2a
を使うと、sinもしくはcosひとつだけになる。
L(sin 2t cos 2t)
= L(1/2 sin 4t)
= 1/2 L(sin4t)
= 1/2 * 4 / (s^2 + 4^2)
= 2 / (s^2 + 16)

ここから先はグラフ使用のため別記事。