問題1.1 ラプラス逆変換

ラプラス逆変換なので、使う変換公式を書く問において提示する。
また、すべての問題においてラプラス変換の線形性

L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}

を用いる。ちなみにs^2はsの２乗

17. (0.1s + 0.9)/(s^2 + 3.24)
3.24 = (1.8)^2
L(cos ωt) = s/(s^2 + ω^2)
L(sin ωt) = ω/(s^2 + ω^2)
の逆変換を用いる。
(0.1s + 0.9)/(s^2 + 3.24)
= 0.1 * s/(s^2 + (1.8)^2) + 0.9/(s^2 + (1.8)^2)
= 0.1 * s/(s^2 + (1.8)^2) + 1/2 * 1.8/(s^2 + (1.8)^2)
= 0.1 L(cos 1.8t) + 1/2 L(sin 1.8t)
= L(0.1cos 1.8t + 0.5 sin 1.8t)

18. 5s/(s^2 - 25)
L(cosh at) = s/(s^2 - a^2)
を用いる。
5s/(s^2 - 25)
= 5 * s/(s^2 - 5^2)
= 5 L(cosh 5s)
= L( 5 cosh 5s)

19. (-s-10)/(s^2 - s - 2)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
を用いる。
= (-s-10)/(s-1)(s-2)
=3/(s+1) - 4/(s-2)
= 3L(exp(-t)) -4L(exp(2t))
= L(3exp(-t) - 4exp(2t))

20. (s-4)/(s^2 - 4)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
(s-4)/(s^2 - 4)
= (s-4)/(s^2 - 2^2)
= (s-4)/(s+2)(s-2)
= 1/2 (1/(s+2) + 1/(s-2)) - (1/(s-2) - 1/(s+2))
= 3/2 * 1/(s+2) + 1/2 * 1/(s-1)
= 3/2 L(exp(-2t)) + 1/2 L(exp(2t))
= L(3/2 exp(-2t) + 1/2 exp(2t))

21. 2.4/s^4 - 228/s^6
L(t^n) = n! / s^(n+1)
を用いる。
2.4/s^4 - 228/s^6
= 0.4 * (3*2)/s^4 - (19*2)/(5*4) * (5*4*3*2)/s^6
= 0.4 * 3!/s^4 - 19/10 * 5!/s^6
= 0.4 L(t^3) - 19/10 L(t^5)
= L(0.4 t^3 - 1.9 t^5)

22. (60 + 6s^2 + s^4)/s^7
L(t^n) = n!/s^(n+1)
を用いる。
(60 + 6s^2 + s^4)/s^7
= 60/s^7 + 6/s^5 + 1/s^3
= 1/12 * 6!/s^7 + 1/4 * 4!/s^5 + 1/2 * 2!/s^3
= 1/12 * L(t^6) + 1/4 * L(t^4) + 1/2 * L(t^2)
= L(t^6/12 + t^4/4 + t^2/2)

23. s/(L^2 s^2 + n^2 π^2)
L(cos ωt) = s/(s^2 + ω^2)
を用いる。
s/(L^2 s^2 + n^2 π^2)
= (s/L^2) / (s^2 + (nπ/L)^2)
= 1/L^2 * s/(s^2 + (nπ/L)^2)
= 1/L^2 * L(cos (nπt/L))
= L(1/L^2 cos(nπt/L)

24. (1-7s) / (s-3)(s-1)(s+2)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
を用いる。
(1-7s) / (s-3)(s-1)(s+2)
= 1/(s-1) + 1/(s+2) - 2/(s-3)
= L(exp(t)) + L(exp(-2t)) -2L(exp(3t))
= L(exp(t) + exp(-2t) - 2exp(3t))

25. Σ(5, k=1) a(k)/(s + k^2)
= a(1)/(s+1) + a(2)/(s+4) + a(3)/(s+9) + a(4)/(s+16) + a(5)/(s+25)
= a(1)L(exp(-t)) + a(2)L(exp(-4t)) + a(3)L(exp(-9t)) + a(4)L(exp(-16t)) + a(5)L(exp(-25t))
= L(Σ(5, k=1) a(k) exp(-tk^2)

26. (s^4 + 6s - 18) / (s^5 - 3s^4)
L(t^n) = n!/s^(n+1)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
を用いる。
(s^4 + 6s - 18) / (s^5 - 3s^4)
= (s^4 + 6s - 18) / s^4(s-3)
= 6/s^4 - 1/(s-3)
= 3!/s^4 - 1/(s-3)
= L(t^3) - L(exp(3t))
= L(t^3 - exp(3t))

27. 1/(s+√2)(s-√3)
= 1/(√2 + √3) * (1/(s-√3) - 1/(s+√2))
= 1/(√2 + √3){L(exp(√3 t) - L(exp(-√2 t))}
= L{1/(√2 + √3) * (exp(√3 t)) - exp(-√2 t))}

28. 2s^3 / (s^4 - 1)
L(cos ωt) = s/(s^2 + ω^2)
L(cosh at) = s/(s^2 - a^2)
を用いる。
2s^3 / (s^4 - 1)
= s * 2s^2 / (s^2 -1)(s^2+1)
= s{1/(s^2 + 1) + 1/(s^2 - 1)}
= s/(s^2 + 1) + s/(s^2 - 1)
= L(cos t) + L(cosh t)
= L(cos t  + cosh t)