問題1.1 ラプラス変換（つづき）

ラプラス変換の続き。グラフは書きません。書籍を参照してください。

9. f(t) = 1-t (0< t <1)
             0   (1< t)
グラフから範囲とその時の式を立てる。あとは、ラプラス変換の公式に入れる。
L(f(t))
= ∫ (0~1) exp(-st) (1-t) dt　　　tの範囲が1以上だと0になるのでそれ以降の式は省略
= [(-1/s exp(-st))](0~1) - ∫ (0~1) (-1/s exp(-st))’ t dt
= (-1/s exp(-s) + 1/s) - [-1/s exp(-st) t](0~1) + ∫ (0~1) (-1/s) exp(-st) dt
= -1/s exp(-s) + 1/s - (-1/s exp(-s)) - 1/s [-1/s exp(-st)](0~1)
= -1/s exp(-s) +1/s + 1/s exp(-s) - 1/s(-1/s exp(-s) + 1/s)
= 1/s + (exp(-s) -1) / s^2

10. f(t) = 0 (0< t <1)
               k (1< t < 4)
               0 (4 < t)
f(t)の値があるのは1~4なので、その範囲を積分する
L(f(t))
= ∫ (1~4) exp(-st) k dt
= k ∫ (1~4) exp(-st) dt
= k [-1/s exp(-st)] (1~4)
= k (-1/s exp(-4s) + 1/s exp(-t)]
= - k/s exp(-4s) + k/s exp(-t)

11. f(t) = k (0< t < c)
               0 (c < t)
f(t)の値があるのは0~cなので、その範囲を積分する。
L(f(t))
= ∫ (0~c) k exp(-st) dt
= k ∫ (0~c) exp(-st) dt
= k [-1/s exp(-st)] (0~c)
= k{-1/s exp(-cs) + 1/s}
= k/s {1- exp(-cs)}

12. f(t) = t    (0< t < 1)
              2-t (1< t < 2)
              0   (2< t)
途中でグラフが曲がっていることに注意する。
L(f(t))
= ∫ (0~1) exp(-st) t dt + ∫ (1~2) exp(-st) (2-t) dt
= ∫ (0~1) exp(-st) t dt + 2[-1/s exp(-st)] (1~2) - ∫ (1~2) exp(-st) t dt
= [-t/s exp(-st)](0~1) + 1/s ∫ (0~1) exp(-st) dt + (-2/s exp(-2s) + 2/s exp(-s)) - [-t/s exp(-st)](1~2) - 1/s ∫ (1~2) exp(-st) dt　　部分積分を使った
= (-1/s exp(-s) - 0) + 1/s[-1/s exp(-st)](0~1) - 2/s exp(-2s) + 2/s exp(-s) - (-2/s exp(-2s) + 1/s exp(-s)) - 1/s[-1/s exp(-st)] (1~2)
= 1/s(-1/s exp(-s) + 1/s) - 1/s(-1/s exp(-2s) + 1/s exp(-s))
= 1/s^2 (-2exp(-s) + exp(-2s) + 1)

13. f(t) = t (0< t < k)
               0 (k < t)
kまではt。k以上は０というグラフ
L(f(t))
= ∫ (0~k) exp(-st) t dt
= [-t/s exp(-st)](0~k) + 1/s ∫ (0~k) exp(-st) dt
= (-k/s exp(-ks) - 0) + 1/s[-1/s exp(-st)](0~k)
= -k/s exp(-ks) + 1/s(-1/s exp(-ks) + 1/s)
= 1/s^2 (1 - exp(-ks)) - k/s exp(-ks)

14. f(t) = t (0< t < 1)
               1(1< t < 2)
               0(2< t)
L(f(t)
= ∫ (0~1) exp(-st) t dt + ∫ (1~2) exp(-st) dt
= [-t/s exp(-st)](0~1) + 1/s ∫ (0~1) exp(-st) dt +[-1/s exp(-st)](1~2)
= (-1/s exp(-s) - 0) + 1/s[-1/s exp(-st)](0~1) +(-1/s exp(-2s) + 1/s exp(-s))
= -1/s^s exp(-s) + 1/s^2 - 1/s exp(-2s)
= 1/s^2(1 - exp(-s)) - 1/s exp(-2s)

15. f(t) = 1- 1/2 t (0< t < 1)
               0          (1< t)
L(f(s))
= ∫ exp (-st) f(t) dt
= ∫(0~1) exp(-st) (1 - 1/2t) dt
= ∫(0~1) exp(-st) dt - 1/2∫ (0~1)t exp(-st) dt
= [-1/s exp(-st)](0~1) - 1/2 ∫ (0~1) (-1/s exp(-st))’ t dt
= (-1/s exp(-s) + 1/s) - 1/2[-1/s * t exp(-st)](0~1) + 1/2s ∫ (-1/s exp(-st))’ dt
= -1/s exp(-s) + 1/s -1/2(-1/s exp(-s)) - 1/2s [-1/s exp(-st)](0~1)
= -1/s exp(-s) + 1/s +  1/2s exp(-s) -1/2s (-1/s exp(-s) + 1/s)
= - 1/2s exp(-s) + 1/s + 1/2s^2 exp(-s) - 1/s^2
= 1/2 * (exp(-s) - 1)/s^2 - exp(-s)/2s + 1/s

16. f(t) = b/a * t (0< t < a)
           = 0          (a<t)
  L(f(s))
= ∫ (0~a) exp(-st) b/a t dt
= b/a ∫ (0~a) (-1/s exp(-st))’ t dt
= b/a [-t/s exp(-st)](0~a) + b/as∫ (0~a) exp(-st) dt
= b/a (-a/s exp(-sa)) + b/as [-1/s exp(-st)](0~a)
= -b/s exp(-sa) + b/as (-1/s exp(-as) + 1/s)
= -(a^2s + b)/as^2 exp(-as) + b/as^2