単位階段関数
u(t-a) = 0 (t<a)
1(a<t)
第二移動定理
L{f(t-a)u(t-a)} = exp(-at) F(s)
単位階段関数の変換
L{u(t-a)} = exp(-as) / s
これらを用いてラプラス変換を解く
2. t u(t-1)
L(t u(t-1))
= L{(t-1)u(t-1) + u(t-1)}
= L{(t-1)u(t-1)} + L{u(t-1)}
= exp(-t)/s^2 + exp(-t)/s
= exp(-t){1/s^2 + 1/s}
3. (t-1) u(t-1)
L{(t-1) u(t-1)}
= exp(-s)/s^2
4. (t-1)^2 u(t-1)
L{(t-1)^2 u(t-1)}
= 2!/s^3 exp(-t)
5. t^2 u(t-1)
L{t^2 u(t-1)}
= L{(t-1)^2 u(t-1)} + 2L{(t-1)u(t-1)} + L{u(t-1)}
= 2!/s^3 exp(-s) + 2/s^2 exp(-s) + 1/s exp(-s)
= exp(-s) {2s^(-3) + 2s^(-2) + s^(-1)}
6. exp(-2t) u(t-3)
L{exp(-2t) u(t-3)}
= L{exp(-2(t-3)) exp(-6) u(t-3)}
= exp(-6) L{exp(-2(t-3)) u(t-3)}
= exp(-6) * exp(-3s) /(s+2)
= exp(-6-3s)/(s+2)
7. 4 u(t-π) cos t
L(4 u(t-π) cos t)
= -4L{u(t-π) cos(t-π)}
= -4 exp(-πs) * s/(s^2 + 1)
= -4s exp(-πs)/(s^2 + 1)
2015年2月18日水曜日
問題1.2 積分による新しい逆変換
13. 1/(s^2 + 4s)
1/(s^2 + 4s)
= 1/s(s+4)
= 1/4 {1/s - 1/(s+4)}
= 1/4 *1/s - 1/4 * 1/(s+4)
= 1/4 L(1) - 1/4 L(exp(-4t)
= L(1/4 (1 - exp(-4t))
14. 4/(s^3 - 2s^2)
4/(s^3 - 2s^2)
= 4/s^2(s-2)
= 2/s(s-2) - 2/s^2}
= 1/(s-2) - 1/s - 1/s^2
= L(exp(2t)) - L(1) - L(t)
= L(exp(2t) - 1 - t)
15. 1/s(s^2 + ω^2)
1/s(s^2 + ω^2)
= 1/ω^2 (1/s - s/(s^2 + ω^2))
= 1/ω^2 * 1/s - 1/ω^2 * s/(s^2 + ω^2)
= 1/ω^2 L(1) - 1/ω^2 *L(cos ωt)
= L(1/ω^2 - 1/ω^2 cos ωt)
= L{1/ω^2 (1 - cos ωt)}
16. 1/(s^5 + s^3)
= 1/s^3(s^2 + 1)
= 1/s^3 - 1/s(s^2 + 1)
= 1/s^3 - 1/s + s/(s^2 + 1)
= 1/2 L(t^2) - L(1) + L(cos t)
= L(t^2/2 - 1 + cos t)
17. 1/(s^3 - s)
= 1/s(s^2 - 1)
= s/(s^2 - 1) - 1/s
= L(cosh t) - L(1)
= L(cosh t - 1)
18. 1/s^2 * (s-1)/(s+1)
= 2/s(s+1) - 1/s^2
= 2{1/s - 1/(s+1)} - 1/s^2
= 2L(1) - 2L(exp(-t)) - L(t)
= L(2 - 2exp(-t) - t)
19. 9/s^2 * (s+1)/(s^2 + 9)
= 9s/s^2(s^2 + 9) + 9/s^2(s^2 + 9)
= s{1/s^2 - 1/(s^2 + 9)} + {1/s^2 - 1/(s^2 + 9)}
= 1/s - s/(s^2 + 3^2) + 1/s^2 - 1/3 * 3/(s^2 + 3^2)
= L(1) - L(cos 3t) + L(t) - 1/3 L(sin 3t)
= L(1 - cos 3t + t - 1/3 sin 3t)
= L(1 + t - cos 3t - 1/3 sin 3t)
1/(s^2 + 4s)
= 1/s(s+4)
= 1/4 {1/s - 1/(s+4)}
= 1/4 *1/s - 1/4 * 1/(s+4)
= 1/4 L(1) - 1/4 L(exp(-4t)
= L(1/4 (1 - exp(-4t))
14. 4/(s^3 - 2s^2)
4/(s^3 - 2s^2)
= 4/s^2(s-2)
= 2/s(s-2) - 2/s^2}
= 1/(s-2) - 1/s - 1/s^2
= L(exp(2t)) - L(1) - L(t)
= L(exp(2t) - 1 - t)
15. 1/s(s^2 + ω^2)
1/s(s^2 + ω^2)
= 1/ω^2 (1/s - s/(s^2 + ω^2))
= 1/ω^2 * 1/s - 1/ω^2 * s/(s^2 + ω^2)
= 1/ω^2 L(1) - 1/ω^2 *L(cos ωt)
= L(1/ω^2 - 1/ω^2 cos ωt)
= L{1/ω^2 (1 - cos ωt)}
16. 1/(s^5 + s^3)
= 1/s^3(s^2 + 1)
= 1/s^3 - 1/s(s^2 + 1)
= 1/s^3 - 1/s + s/(s^2 + 1)
= 1/2 L(t^2) - L(1) + L(cos t)
= L(t^2/2 - 1 + cos t)
17. 1/(s^3 - s)
= 1/s(s^2 - 1)
= s/(s^2 - 1) - 1/s
= L(cosh t) - L(1)
= L(cosh t - 1)
18. 1/s^2 * (s-1)/(s+1)
= 2/s(s+1) - 1/s^2
= 2{1/s - 1/(s+1)} - 1/s^2
= 2L(1) - 2L(exp(-t)) - L(t)
= L(2 - 2exp(-t) - t)
19. 9/s^2 * (s+1)/(s^2 + 9)
= 9s/s^2(s^2 + 9) + 9/s^2(s^2 + 9)
= s{1/s^2 - 1/(s^2 + 9)} + {1/s^2 - 1/(s^2 + 9)}
= 1/s - s/(s^2 + 3^2) + 1/s^2 - 1/3 * 3/(s^2 + 3^2)
= L(1) - L(cos 3t) + L(t) - 1/3 L(sin 3t)
= L(1 - cos 3t + t - 1/3 sin 3t)
= L(1 + t - cos 3t - 1/3 sin 3t)
問題1.2 例4の拡張
12. 例4の微分を使う方法を拡張して示す。
(a) L(t cos ωt) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
f(t) = t cos ωt
f(0) = 0
f’(t) = cos ωt - ωt sin ωt
f’(0) = 1
f’’(t) = - ω sin ωt - ω sin ωt - ω^2 t cos ωt
= -2ω sin ωt - ω^2 f(t)
であるので、
L(f’’) = s^2 L(f) - s f(t) - f’(t)
から、
L(f’’) = -2ω L(sin ωt) - ω^2 L(f) = s^2 L(f) - 1
となる。sin ωtについてのラプラス変換公式を用いると、
(s^2 + ω^2)L(f) = 1 - 2ωL(sin ωt)
(s^2 + ω^2)L(f) = 1 - 2ω^2/(s^2 + ω^2)
(s^2 + ω^2)L(f) = {s^2 + ω^2 - 2ω^2}/(s^2 + ω^2)
(s^2 + ω^2)L(f) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)
L(f) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
L(t cos ωt) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
(b) 1/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω^3 (sin ωt - ωt cos ωt)}
L{1/2ω^3 (sin ωt - ωt cos ωt)}
= 1/2ω^3 L(sin ωt) - 1/2ω^2 L(t cos ωt)
= 1/2ω^3 * ω/(s^2 + ω^2) - 1/2ω^2 * (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
= 1/2ω^2(s^2 + ω^2) - (s^2 - ω^2)/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= {(s^2 + ω^2) - (s^2 - ω^2)}/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= 2ω^2/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= 1/(s^2 + ω^2)^2
(c) s/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω t sin ωt}
L{1/2ω t sin ωt}
= 1/2ω L(t sin ωt)
= 1/2ω * 2ωs/(s^2 + ω^2)^2
= 2/(s^2 + ω^2)^2
(d) s^2/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω (sin ωt + ωt cos ωt)}
L{1/2ω (sin ωt + ωt cos ωt)}
= 1/2ω L(sin ωt) + 1/2 L(t cos ωt)
= 1/2ω * ω/(s^2 + ω^2) + 1/2 * (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
= 1/2(s^2 + ω^2) + (s^2 - ω^2)/2(s^2 + ω^2)^2
= {(s^2 + ω^2) + (s^2 - ω^2)}/ 2(s^2 + ω^2)^2
= (2s^2)/2(s^2 + ω^2)^2
= s^2/(s^2 + ω^2)^2
(e) L(t cosh at) = (s^2 + a^2)/(s^2 - a^2)^2
L(t cosh at)
= L{t/2 (exp(at) + exp(-at)}
= 1/2 L(t exp(at)) + 1/2 L(t exp(-at))
= 1/2 * 1/(s-a)^2 + 1/2 * 1/(s+a)^2
= {(s+a)^2 + (s-a)^2}/2(s-a)^2 (s+a)^2
= {s^2 + 2as + a^2 + s^2 - 2as + a^2}/2(s^2 - a^2)^2
= (2s^2 + 2a^2)/2(s^2 - a^2)^2
= (s^2 + a^2)/(s^2 - a^2)^2
(f) L(t sinh at) = 2as/(s^2 - a^2)^2
L(t sinh at)
= L{t/2 (exp(at) - exp(-at))}
= 1/2 L(t exp(at)) - 1/2 L(t exp(-at))
= 1/2 * 1/(s-a)^2 - 1/2 * 1/(s+a)^2
= {(s+a)^2 - (s-a)^2}/2(s+a)^2 (s-a)^2
= {s^2 + 2as + a^2 - s^2 + 2as - a^2}/2(s^2 - a^2)^2
= 4as/2(s^2 - a^2)^2
= 2as/(s^2 - a^2)^2
(a) L(t cos ωt) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
f(t) = t cos ωt
f(0) = 0
f’(t) = cos ωt - ωt sin ωt
f’(0) = 1
f’’(t) = - ω sin ωt - ω sin ωt - ω^2 t cos ωt
= -2ω sin ωt - ω^2 f(t)
であるので、
L(f’’) = s^2 L(f) - s f(t) - f’(t)
から、
L(f’’) = -2ω L(sin ωt) - ω^2 L(f) = s^2 L(f) - 1
となる。sin ωtについてのラプラス変換公式を用いると、
(s^2 + ω^2)L(f) = 1 - 2ωL(sin ωt)
(s^2 + ω^2)L(f) = 1 - 2ω^2/(s^2 + ω^2)
(s^2 + ω^2)L(f) = {s^2 + ω^2 - 2ω^2}/(s^2 + ω^2)
(s^2 + ω^2)L(f) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)
L(f) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
L(t cos ωt) = (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
(b) 1/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω^3 (sin ωt - ωt cos ωt)}
L{1/2ω^3 (sin ωt - ωt cos ωt)}
= 1/2ω^3 L(sin ωt) - 1/2ω^2 L(t cos ωt)
= 1/2ω^3 * ω/(s^2 + ω^2) - 1/2ω^2 * (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
= 1/2ω^2(s^2 + ω^2) - (s^2 - ω^2)/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= {(s^2 + ω^2) - (s^2 - ω^2)}/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= 2ω^2/2ω^2(s^2 + ω^2)^2
= 1/(s^2 + ω^2)^2
(c) s/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω t sin ωt}
L{1/2ω t sin ωt}
= 1/2ω L(t sin ωt)
= 1/2ω * 2ωs/(s^2 + ω^2)^2
= 2/(s^2 + ω^2)^2
(d) s^2/(s^2 + ω^2)^2 = L{1/2ω (sin ωt + ωt cos ωt)}
L{1/2ω (sin ωt + ωt cos ωt)}
= 1/2ω L(sin ωt) + 1/2 L(t cos ωt)
= 1/2ω * ω/(s^2 + ω^2) + 1/2 * (s^2 - ω^2)/(s^2 + ω^2)^2
= 1/2(s^2 + ω^2) + (s^2 - ω^2)/2(s^2 + ω^2)^2
= {(s^2 + ω^2) + (s^2 - ω^2)}/ 2(s^2 + ω^2)^2
= (2s^2)/2(s^2 + ω^2)^2
= s^2/(s^2 + ω^2)^2
(e) L(t cosh at) = (s^2 + a^2)/(s^2 - a^2)^2
L(t cosh at)
= L{t/2 (exp(at) + exp(-at)}
= 1/2 L(t exp(at)) + 1/2 L(t exp(-at))
= 1/2 * 1/(s-a)^2 + 1/2 * 1/(s+a)^2
= {(s+a)^2 + (s-a)^2}/2(s-a)^2 (s+a)^2
= {s^2 + 2as + a^2 + s^2 - 2as + a^2}/2(s^2 - a^2)^2
= (2s^2 + 2a^2)/2(s^2 - a^2)^2
= (s^2 + a^2)/(s^2 - a^2)^2
(f) L(t sinh at) = 2as/(s^2 - a^2)^2
L(t sinh at)
= L{t/2 (exp(at) - exp(-at))}
= 1/2 L(t exp(at)) - 1/2 L(t exp(-at))
= 1/2 * 1/(s-a)^2 - 1/2 * 1/(s+a)^2
= {(s+a)^2 - (s-a)^2}/2(s+a)^2 (s-a)^2
= {s^2 + 2as + a^2 - s^2 + 2as - a^2}/2(s^2 - a^2)^2
= 4as/2(s^2 - a^2)^2
= 2as/(s^2 - a^2)^2
問題1.2 異なる方法による導出
11. L((cos t)^2)
(a)例3の結果を使う方法で値を求める
例3の結果とは
L((sin t)^2) = 2/s(s^2+4)
である。
(sin t)^2 + (cos t)^2 = 1
(cos t)^2 = 1 - (sin t)^2
L((cos t)^2)
= L(1 - (sin t)^2)
= L(1) - L((sin t)^2)
= 1/s - 2/s(s^2+4)
= (s^2 + 4 - 2)/s(s^2 + 4)
=(s^2 + 2)/s(s^2 + 4)
(b)例3の方法を使う
f(t) = (cos t)^2, f(0) = 1, f’(t) = -2sin t cos t = -sin 2t
L(y’) = sL(y) - y(0)
L(-sin 2t) = - 2/(s^2 + 4) = sL((cos t)^2) - f(0) = sL((cos t)^2) - 1
sL((cos t)^2) = - 2/(s^2 + 4) + 1
sL((cos t)^2) = (s^2 + 4 - 2) / (s^2 + 4)
sL((cos t)^2) = (s^2 + 2)/(s^2 + 4)
L((cos t)^2) = (s^2 + 2)/s(s^2 + 4)
(c)(cos t)^2 をcos 2tで表す方法を使う
(cos t)^2 = 1/2 {1 + cos 2t} = 1/2 + 1/2 cos2t
L((cos t)^2)
= L(1/2 + 1/2 cos 2t)
= 1/2 L(1) + 1/2 L(cos 2t)
= 1/2s + 1/2 * s/(s^2 + 4)
= 1/2s + s/2(s^2 + 4)
= {(s^2 + 4) + s^2}/2s(s^2+4)
= (2s^2 + 4)/2s(s^2+4)
= (s^2 + 2)/s(s^2 + 4)
問題1.2 初期値問題
ラプラス変換で初期値問題を解く
L(f’) = sL(f) - y(0)
Y = L(y)
1. y’ + 3y = 10sin t, y(0) = 0
L(sin t) = 1/(s^2 + 1)
を用いる。この方程式の補助方程式は
sY + 3Y = 10 / (s^2 + 1)
(s+3) Y = 10/(s^2 + 1)
Y = 10/(s+3)(s^2 + 1)
Y = 1/(s+3) + 3/(s^2 + 1) - s/(s^2 + 1)
L(y) = L(exp(-3t)) + 3L(sin t) - L(cos t)
L(y) = L(exp(-3t) + 3sin t - cos t)
y = exp(-3t) + 3sin t - cos t
2. y’ - 5y = 1.5 exp(-4t), y(0)=1
L(exp(-4t))=1/(s+4)
を用いる。補助方程式は
sY- 5Y = 1.5/(s+4)
(s-5)Y = 3/2 * 1/(s+4)
Y = 1/6 * {1/(s-5) - 1/(s+4)}
L(y) = 1/6 L(exp(5t)) - 1/6 L(exp(-4t))
y = 1/6 {exp(5t) - exp(-4t)}
3. y’ + 0.2y = 0.01t, y(0) = -0.25
補助方程式は
sY + 0.25 + 0.2Y = 0.01/s^2
(s+0.2)Y = 0.01{1/s^2 - 5^2}
Y = 0.01{1-(5s)^2}/(s+0.2)s^2
Y = 0.05 (1-5s)(1+5s) / (1+5s)s^2
Y = 0.05 (1-5s)/s^2
Y = 0.05/s^2 - 0.25/s
L(y) = 0.05L(t) - 0.25L(1)
L(y) = L(0.05t - 0.25)
y = 0.05t - 0.25
4. y’’ - y’ - 2y = 0, y(0) = 8, y’(0) = 7
{s^2Y - 8s - 7} - {sY- 8} - 2Y = 0
(s^2 - s - 2)Y = 8s - 1
(s-2)(s+1)Y = 8s-1
Y = 3/(s+1) + 5/(s-2)
L(y) = 3L(exp(-t)) + 5L(exp(2t))
L(y) = L(3exp(-t) + 5exp(2t))
y = 3exp(-t) + 5exp(2t)
5. y’’ + ay’ - 2a^2y = 0, y(0)=6, y’(0)=0
{s^2Y - 6s} + a{sY - 6} - 2a^2Y = 0
(s^2 + as - 2a^2)Y = 6s + 6a
(s+2a)(s-a)Y=6(s+a)
Y = 6(s+a) / (s+2a)(s-a)
Y = 2/(s+2a) - 4/(s-a)
L(y) = 2L(exp(-2at)) - 4L(exp(at))
L(y) = L(2exp(-2at) - 4exp(at))
y = 2exp(-2at) - 4exp(at)
6. y’’ + y = 2 cos t, y(0) = 3, y’(0)=4
L(t sin ωt) = 2ωt / (s^2 + ω^2)^2
{s^2Y - 3s - 4} + Y = 2s/(s^2 + 1)
(s^2+1)Y = 2s/(s^2 + 1) + 3s + 4
Y = 2s/(s^2 + 1)^2 +(3s+4)/(s^2 +1)
Y = 2s/(s^2 + 1)^2 + 3 s/(s^2 + 1) + 4 /(s^2 + 1)
L(y) = L(t sin t) + 3L(cos t) + 4L(sin t)
L(y) = L(t sin t + 3cos t + 4 sin t)
y = t sin t + 3 cos t + 4 sin t
7. y’’ - 4y’ + 3y = 6t - 8, y(0) = 0, y’(0) = 0
s^2Y - 4sY + 3Y = 6/s^2 - 8/s
(s^2 - 4s + 3) Y = (6 - 8s)/s^2
(s-1)(s-3)Y = (6-8s)/s^2
Y = (6-8s)/(s-1)(s-3)s^2
Y = 2/s^2 - 2/(s-1)(s-3)
Y = 2/s^2 - 1/(s-3) + 1/(s-1)
L(y) = 2L(t) - L(exp(3t)) + L(exp(t))
L(y) = L(2t - exp(3t) + exp(t))
y = 2t - exp(3t) + exp(t)
8. y’’ + 0.04y = 0.02t^2, y(0) = -25, y’(0) = 0
{s^2Y + 25s} + 0.04Y = 0.02 * 2!/s^3
(s^2 +0.04)Y +25s = 0.04/s^3
(25s^2 + 1)Y + 625s = 1/s^3
(25s^2 + 1)Y = (1- 625s^4)/s^3
Y = (1 + 25s^2)(1 - 25s^2) / s^3(25s^2 + 1)
Y = (1 - 25s^2) / s^3
Y = 1/s^3 - 25/s
L(y) = 1/2 L(t^2) - 25L(1)
L(y) = L(t^2/2 - 25)
y = t^2/2 - 25
9. y’’ + 2y’ - 3y = 6 exp(-2t), y(0) = 2, y’(0) = -14
{s^2Y - 2s +14} + 2{sY - 2} - 3Y = 6/(s+2)
(s^2 + 2s -3)Y = 6/(s+2) +2s +10
(s+3)(s-1)Y = 6/(s+2) +2(s+5)
Y = 6/(s+2)(s-1)(s+3) +2(s+5)/(s-1)(s+3)
Y = 6/(s-1){1/(s+2) - 1/(s+3)} + 2{2/(s+3) - 1/(s-1)}
Y = 6/(s-1)(s+2) - 6/(s-1)(s+3) + 4/(s+3) - 2/(s-1)
Y = 2{1/(s-1) - 1/(s+2)} - 3/2 {1/(s-1) - 1/(s+3)} +4/(s+3) - 2/(s-1)
Y = 2/(s-1) - 2/(s+2) -3/2(s-1) + 3/2(s+3) +4/(s+3) - 2/(s-1)
Y = -3/2(s-1) - 2/(s+2) + 11/2(s+3)
L(y) = -3/2L(exp(t)) -2L(exp(-2t)) + 11/2L(exp(-3t))
L(y) = L{-3exp(t)/2 - 2exp(-2t) +11exp(-3t)/2}
y = -3exp(t)/2 - 2exp(-2t) +11exp(-3t)/2
L(f’) = sL(f) - y(0)
Y = L(y)
1. y’ + 3y = 10sin t, y(0) = 0
L(sin t) = 1/(s^2 + 1)
を用いる。この方程式の補助方程式は
sY + 3Y = 10 / (s^2 + 1)
(s+3) Y = 10/(s^2 + 1)
Y = 10/(s+3)(s^2 + 1)
Y = 1/(s+3) + 3/(s^2 + 1) - s/(s^2 + 1)
L(y) = L(exp(-3t)) + 3L(sin t) - L(cos t)
L(y) = L(exp(-3t) + 3sin t - cos t)
y = exp(-3t) + 3sin t - cos t
2. y’ - 5y = 1.5 exp(-4t), y(0)=1
L(exp(-4t))=1/(s+4)
を用いる。補助方程式は
sY- 5Y = 1.5/(s+4)
(s-5)Y = 3/2 * 1/(s+4)
Y = 1/6 * {1/(s-5) - 1/(s+4)}
L(y) = 1/6 L(exp(5t)) - 1/6 L(exp(-4t))
y = 1/6 {exp(5t) - exp(-4t)}
3. y’ + 0.2y = 0.01t, y(0) = -0.25
補助方程式は
sY + 0.25 + 0.2Y = 0.01/s^2
(s+0.2)Y = 0.01{1/s^2 - 5^2}
Y = 0.01{1-(5s)^2}/(s+0.2)s^2
Y = 0.05 (1-5s)(1+5s) / (1+5s)s^2
Y = 0.05 (1-5s)/s^2
Y = 0.05/s^2 - 0.25/s
L(y) = 0.05L(t) - 0.25L(1)
L(y) = L(0.05t - 0.25)
y = 0.05t - 0.25
4. y’’ - y’ - 2y = 0, y(0) = 8, y’(0) = 7
{s^2Y - 8s - 7} - {sY- 8} - 2Y = 0
(s^2 - s - 2)Y = 8s - 1
(s-2)(s+1)Y = 8s-1
Y = 3/(s+1) + 5/(s-2)
L(y) = 3L(exp(-t)) + 5L(exp(2t))
L(y) = L(3exp(-t) + 5exp(2t))
y = 3exp(-t) + 5exp(2t)
5. y’’ + ay’ - 2a^2y = 0, y(0)=6, y’(0)=0
{s^2Y - 6s} + a{sY - 6} - 2a^2Y = 0
(s^2 + as - 2a^2)Y = 6s + 6a
(s+2a)(s-a)Y=6(s+a)
Y = 6(s+a) / (s+2a)(s-a)
Y = 2/(s+2a) - 4/(s-a)
L(y) = 2L(exp(-2at)) - 4L(exp(at))
L(y) = L(2exp(-2at) - 4exp(at))
y = 2exp(-2at) - 4exp(at)
6. y’’ + y = 2 cos t, y(0) = 3, y’(0)=4
L(t sin ωt) = 2ωt / (s^2 + ω^2)^2
{s^2Y - 3s - 4} + Y = 2s/(s^2 + 1)
(s^2+1)Y = 2s/(s^2 + 1) + 3s + 4
Y = 2s/(s^2 + 1)^2 +(3s+4)/(s^2 +1)
Y = 2s/(s^2 + 1)^2 + 3 s/(s^2 + 1) + 4 /(s^2 + 1)
L(y) = L(t sin t) + 3L(cos t) + 4L(sin t)
L(y) = L(t sin t + 3cos t + 4 sin t)
y = t sin t + 3 cos t + 4 sin t
7. y’’ - 4y’ + 3y = 6t - 8, y(0) = 0, y’(0) = 0
s^2Y - 4sY + 3Y = 6/s^2 - 8/s
(s^2 - 4s + 3) Y = (6 - 8s)/s^2
(s-1)(s-3)Y = (6-8s)/s^2
Y = (6-8s)/(s-1)(s-3)s^2
Y = 2/s^2 - 2/(s-1)(s-3)
Y = 2/s^2 - 1/(s-3) + 1/(s-1)
L(y) = 2L(t) - L(exp(3t)) + L(exp(t))
L(y) = L(2t - exp(3t) + exp(t))
y = 2t - exp(3t) + exp(t)
8. y’’ + 0.04y = 0.02t^2, y(0) = -25, y’(0) = 0
{s^2Y + 25s} + 0.04Y = 0.02 * 2!/s^3
(s^2 +0.04)Y +25s = 0.04/s^3
(25s^2 + 1)Y + 625s = 1/s^3
(25s^2 + 1)Y = (1- 625s^4)/s^3
Y = (1 + 25s^2)(1 - 25s^2) / s^3(25s^2 + 1)
Y = (1 - 25s^2) / s^3
Y = 1/s^3 - 25/s
L(y) = 1/2 L(t^2) - 25L(1)
L(y) = L(t^2/2 - 25)
y = t^2/2 - 25
9. y’’ + 2y’ - 3y = 6 exp(-2t), y(0) = 2, y’(0) = -14
{s^2Y - 2s +14} + 2{sY - 2} - 3Y = 6/(s+2)
(s^2 + 2s -3)Y = 6/(s+2) +2s +10
(s+3)(s-1)Y = 6/(s+2) +2(s+5)
Y = 6/(s+2)(s-1)(s+3) +2(s+5)/(s-1)(s+3)
Y = 6/(s-1){1/(s+2) - 1/(s+3)} + 2{2/(s+3) - 1/(s-1)}
Y = 6/(s-1)(s+2) - 6/(s-1)(s+3) + 4/(s+3) - 2/(s-1)
Y = 2{1/(s-1) - 1/(s+2)} - 3/2 {1/(s-1) - 1/(s+3)} +4/(s+3) - 2/(s-1)
Y = 2/(s-1) - 2/(s+2) -3/2(s-1) + 3/2(s+3) +4/(s+3) - 2/(s-1)
Y = -3/2(s-1) - 2/(s+2) + 11/2(s+3)
L(y) = -3/2L(exp(t)) -2L(exp(-2t)) + 11/2L(exp(-3t))
L(y) = L{-3exp(t)/2 - 2exp(-2t) +11exp(-3t)/2}
y = -3exp(t)/2 - 2exp(-2t) +11exp(-3t)/2
問題1.1 第一移動定理の応用 ラプラス逆変換
第一移動定理
L(exp(at) f(t)) = F(s-a)
L(exp(at) cos ωt) = (s-a)/{(s-a)^2 + ω^2}
L(exp(at) sin ωt) = ω/{(s-a)^2 + ω^2}
L(exp(at) t^n) = n!/(s-a)^(n+1)
35. 1/(s+1)^2
1/(s+1)^2
= L(exp(-t) t^1)
= L(t exp(-t))
36. 12/(s-3)^4
12/(s-3)^4
= 2 * 3!/(s-3)^4
= 2 L(exp(3t) t^3)
= L(2 t^3 exp(3t))
37. 3/(s^2 + 6s + 18)
3/(s^2 + 6s + 18)
=3/{(s+3)^2 +3^2}
= L{exp(-3t) sin 3t}
38. 4/{s^2 - 2s - 3}
4/{s^2 - 2s - 3}
= 4/(s-3)(s+1)
=1/(s-3) - 1/(s+1)
= L(exp(3t)) - L(exp(-t))
= L{exp(3t) - exp(-t)}
39. s/{(s+1/2)^2 +1}
s/{(s+1/2)^2 + 1}
= {s+1/2}/{(s+1/2)^2 + 1} - 1/2 * 2/{(s+1/2)^2 + 1}
= L(exp(-t/2) cos t) -1/2 L{exp(-t/2) sin t}
= L{exp(-t/2) (cos t - 1/2 sin t)
40. 2/{s^2 + s + 1/2}
2/{s^2 + s + 1/2}
= 2/{(s+1/2)^2 + 1/2^2}
= 8 (1/2) / {(s+1/2)^2 + (1/2)^2}
= 8 L{exp(-t/2) sin(t/2)}
= L{8exp(-t/2) sin(t/2)}
L(exp(at) f(t)) = F(s-a)
L(exp(at) cos ωt) = (s-a)/{(s-a)^2 + ω^2}
L(exp(at) sin ωt) = ω/{(s-a)^2 + ω^2}
L(exp(at) t^n) = n!/(s-a)^(n+1)
35. 1/(s+1)^2
1/(s+1)^2
= L(exp(-t) t^1)
= L(t exp(-t))
36. 12/(s-3)^4
12/(s-3)^4
= 2 * 3!/(s-3)^4
= 2 L(exp(3t) t^3)
= L(2 t^3 exp(3t))
37. 3/(s^2 + 6s + 18)
3/(s^2 + 6s + 18)
=3/{(s+3)^2 +3^2}
= L{exp(-3t) sin 3t}
38. 4/{s^2 - 2s - 3}
4/{s^2 - 2s - 3}
= 4/(s-3)(s+1)
=1/(s-3) - 1/(s+1)
= L(exp(3t)) - L(exp(-t))
= L{exp(3t) - exp(-t)}
39. s/{(s+1/2)^2 +1}
s/{(s+1/2)^2 + 1}
= {s+1/2}/{(s+1/2)^2 + 1} - 1/2 * 2/{(s+1/2)^2 + 1}
= L(exp(-t/2) cos t) -1/2 L{exp(-t/2) sin t}
= L{exp(-t/2) (cos t - 1/2 sin t)
40. 2/{s^2 + s + 1/2}
2/{s^2 + s + 1/2}
= 2/{(s+1/2)^2 + 1/2^2}
= 8 (1/2) / {(s+1/2)^2 + (1/2)^2}
= 8 L{exp(-t/2) sin(t/2)}
= L{8exp(-t/2) sin(t/2)}
問題1.1 第1移動定理の応用 ラプラス変換
第一移動定理は
L{exp(at) f(t)} = F(s-a)
L{exp(at) cos ωt} = (s-a)/{(s-a)^2 + ω^2}
L{exp(at) sin ωt} = ω/{(s-a)^2 + ω^2}
L{t^n exp(at)} = n!/(s-a)^(n+1)
29. t^2 exp(-3t)
L(t^2 exp(-3t))
= 2!/(s+3)^3
30. exp(-αt) cos βt
L(exp(-αt) cos βt)
= (s-α)/{(s-α)^2 + β^2}
31. 5exp(2t) sinh 2t
L(sinh at) = a/(s^2 - a^2)
より、第一移動定理を用いると
L{exp(at) sinh βt} = β/{(s-a)^2 - a^2}
であるので、次のように解ける。
L{5exp(2t) sinh 2t}
= 5L{exp(2t) sinh 2t}
= 5 * 2/{(s-2)^2 - 4}
= 10/{(s-2)^2 - 4}
= 10/s(s-4)
32. 2exp(-t) (cos t/2)^2
(cos t)^2 = 1/2 {1+ cos 2t}
を用いる。
2exp(-t) cos(t/2)^2
= exp(-t) cos t
L{exp(-t) cos t}
= (s+1)/{(s+1)^2 + 1}
33. sinh t cos t
= 1/2 {exp(t) - exp(-t)}cos t
= 1/2 {exp(t) cos t} - 1/2{exp(-t) cos t}
L{exp(t) cos t} = (s-1)/{(s-1)^2 + 1}
L{exp(-t) cos t} = (s+1)/{(s+1)^2 + 1}
を用いる。
L{sinh t cos t}
= 1/2 * (s-1)/{(s-1)^2 + 1} - 1/2 * (s+1)/{(s+1)^2 + 1}
= (s^2 - 2) / (s^4 + 4)
34. (t+1)^2 exp(t)
L{(t+1)^2 exp(t)}
=L{t^2 exp(t) + 2t exp(t) + exp(t)}
= 2!/(s-1)^3 + 2 * 1!/(s-1)^2 + 1/(s-1)
= 2/(s-1)^3 + 2/(s-1)^2 + 1/(s-1)
問題1.1 ラプラス逆変換
ラプラス逆変換なので、使う変換公式を書く問において提示する。
また、すべての問題においてラプラス変換の線形性
17. (0.1s + 0.9)/(s^2 + 3.24)
3.24 = (1.8)^2
L(cos ωt) = s/(s^2 + ω^2)
L(sin ωt) = ω/(s^2 + ω^2)
の逆変換を用いる。
(0.1s + 0.9)/(s^2 + 3.24)
= 0.1 * s/(s^2 + (1.8)^2) + 0.9/(s^2 + (1.8)^2)
= 0.1 * s/(s^2 + (1.8)^2) + 1/2 * 1.8/(s^2 + (1.8)^2)
= 0.1 L(cos 1.8t) + 1/2 L(sin 1.8t)
= L(0.1cos 1.8t + 0.5 sin 1.8t)
18. 5s/(s^2 - 25)
L(cosh at) = s/(s^2 - a^2)
を用いる。
5s/(s^2 - 25)
= 5 * s/(s^2 - 5^2)
= 5 L(cosh 5s)
= L( 5 cosh 5s)
19. (-s-10)/(s^2 - s - 2)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
を用いる。
= (-s-10)/(s-1)(s-2)
=3/(s+1) - 4/(s-2)
= 3L(exp(-t)) -4L(exp(2t))
= L(3exp(-t) - 4exp(2t))
20. (s-4)/(s^2 - 4)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
(s-4)/(s^2 - 4)
= (s-4)/(s^2 - 2^2)
= (s-4)/(s+2)(s-2)
= 1/2 (1/(s+2) + 1/(s-2)) - (1/(s-2) - 1/(s+2))
= 3/2 * 1/(s+2) + 1/2 * 1/(s-1)
= 3/2 L(exp(-2t)) + 1/2 L(exp(2t))
= L(3/2 exp(-2t) + 1/2 exp(2t))
21. 2.4/s^4 - 228/s^6
L(t^n) = n! / s^(n+1)
を用いる。
2.4/s^4 - 228/s^6
= 0.4 * (3*2)/s^4 - (19*2)/(5*4) * (5*4*3*2)/s^6
= 0.4 * 3!/s^4 - 19/10 * 5!/s^6
= 0.4 L(t^3) - 19/10 L(t^5)
= L(0.4 t^3 - 1.9 t^5)
22. (60 + 6s^2 + s^4)/s^7
L(t^n) = n!/s^(n+1)
を用いる。
(60 + 6s^2 + s^4)/s^7
= 60/s^7 + 6/s^5 + 1/s^3
= 1/12 * 6!/s^7 + 1/4 * 4!/s^5 + 1/2 * 2!/s^3
= 1/12 * L(t^6) + 1/4 * L(t^4) + 1/2 * L(t^2)
= L(t^6/12 + t^4/4 + t^2/2)
23. s/(L^2 s^2 + n^2 π^2)
L(cos ωt) = s/(s^2 + ω^2)
を用いる。
s/(L^2 s^2 + n^2 π^2)
= (s/L^2) / (s^2 + (nπ/L)^2)
= 1/L^2 * s/(s^2 + (nπ/L)^2)
= 1/L^2 * L(cos (nπt/L))
= L(1/L^2 cos(nπt/L)
24. (1-7s) / (s-3)(s-1)(s+2)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
を用いる。
(1-7s) / (s-3)(s-1)(s+2)
= 1/(s-1) + 1/(s+2) - 2/(s-3)
= L(exp(t)) + L(exp(-2t)) -2L(exp(3t))
= L(exp(t) + exp(-2t) - 2exp(3t))
25. Σ(5, k=1) a(k)/(s + k^2)
= a(1)/(s+1) + a(2)/(s+4) + a(3)/(s+9) + a(4)/(s+16) + a(5)/(s+25)
= a(1)L(exp(-t)) + a(2)L(exp(-4t)) + a(3)L(exp(-9t)) + a(4)L(exp(-16t)) + a(5)L(exp(-25t))
= L(Σ(5, k=1) a(k) exp(-tk^2)
26. (s^4 + 6s - 18) / (s^5 - 3s^4)
L(t^n) = n!/s^(n+1)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
を用いる。
(s^4 + 6s - 18) / (s^5 - 3s^4)
= (s^4 + 6s - 18) / s^4(s-3)
= 6/s^4 - 1/(s-3)
= 3!/s^4 - 1/(s-3)
= L(t^3) - L(exp(3t))
= L(t^3 - exp(3t))
27. 1/(s+√2)(s-√3)
= 1/(√2 + √3) * (1/(s-√3) - 1/(s+√2))
= 1/(√2 + √3){L(exp(√3 t) - L(exp(-√2 t))}
= L{1/(√2 + √3) * (exp(√3 t)) - exp(-√2 t))}
28. 2s^3 / (s^4 - 1)
L(cos ωt) = s/(s^2 + ω^2)
L(cosh at) = s/(s^2 - a^2)
を用いる。
2s^3 / (s^4 - 1)
= s * 2s^2 / (s^2 -1)(s^2+1)
= s{1/(s^2 + 1) + 1/(s^2 - 1)}
= s/(s^2 + 1) + s/(s^2 - 1)
= L(cos t) + L(cosh t)
= L(cos t + cosh t)
また、すべての問題においてラプラス変換の線形性
L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}
を用いる。ちなみにs^2はsの２乗
3.24 = (1.8)^2
L(cos ωt) = s/(s^2 + ω^2)
L(sin ωt) = ω/(s^2 + ω^2)
の逆変換を用いる。
(0.1s + 0.9)/(s^2 + 3.24)
= 0.1 * s/(s^2 + (1.8)^2) + 0.9/(s^2 + (1.8)^2)
= 0.1 * s/(s^2 + (1.8)^2) + 1/2 * 1.8/(s^2 + (1.8)^2)
= 0.1 L(cos 1.8t) + 1/2 L(sin 1.8t)
= L(0.1cos 1.8t + 0.5 sin 1.8t)
18. 5s/(s^2 - 25)
L(cosh at) = s/(s^2 - a^2)
を用いる。
5s/(s^2 - 25)
= 5 * s/(s^2 - 5^2)
= 5 L(cosh 5s)
= L( 5 cosh 5s)
19. (-s-10)/(s^2 - s - 2)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
を用いる。
= (-s-10)/(s-1)(s-2)
=3/(s+1) - 4/(s-2)
= 3L(exp(-t)) -4L(exp(2t))
= L(3exp(-t) - 4exp(2t))
20. (s-4)/(s^2 - 4)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
(s-4)/(s^2 - 4)
= (s-4)/(s^2 - 2^2)
= (s-4)/(s+2)(s-2)
= 1/2 (1/(s+2) + 1/(s-2)) - (1/(s-2) - 1/(s+2))
= 3/2 * 1/(s+2) + 1/2 * 1/(s-1)
= 3/2 L(exp(-2t)) + 1/2 L(exp(2t))
= L(3/2 exp(-2t) + 1/2 exp(2t))
21. 2.4/s^4 - 228/s^6
L(t^n) = n! / s^(n+1)
を用いる。
2.4/s^4 - 228/s^6
= 0.4 * (3*2)/s^4 - (19*2)/(5*4) * (5*4*3*2)/s^6
= 0.4 * 3!/s^4 - 19/10 * 5!/s^6
= 0.4 L(t^3) - 19/10 L(t^5)
= L(0.4 t^3 - 1.9 t^5)
22. (60 + 6s^2 + s^4)/s^7
L(t^n) = n!/s^(n+1)
を用いる。
(60 + 6s^2 + s^4)/s^7
= 60/s^7 + 6/s^5 + 1/s^3
= 1/12 * 6!/s^7 + 1/4 * 4!/s^5 + 1/2 * 2!/s^3
= 1/12 * L(t^6) + 1/4 * L(t^4) + 1/2 * L(t^2)
= L(t^6/12 + t^4/4 + t^2/2)
23. s/(L^2 s^2 + n^2 π^2)
L(cos ωt) = s/(s^2 + ω^2)
を用いる。
s/(L^2 s^2 + n^2 π^2)
= (s/L^2) / (s^2 + (nπ/L)^2)
= 1/L^2 * s/(s^2 + (nπ/L)^2)
= 1/L^2 * L(cos (nπt/L))
= L(1/L^2 cos(nπt/L)
24. (1-7s) / (s-3)(s-1)(s+2)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
を用いる。
(1-7s) / (s-3)(s-1)(s+2)
= 1/(s-1) + 1/(s+2) - 2/(s-3)
= L(exp(t)) + L(exp(-2t)) -2L(exp(3t))
= L(exp(t) + exp(-2t) - 2exp(3t))
25. Σ(5, k=1) a(k)/(s + k^2)
= a(1)/(s+1) + a(2)/(s+4) + a(3)/(s+9) + a(4)/(s+16) + a(5)/(s+25)
= a(1)L(exp(-t)) + a(2)L(exp(-4t)) + a(3)L(exp(-9t)) + a(4)L(exp(-16t)) + a(5)L(exp(-25t))
= L(Σ(5, k=1) a(k) exp(-tk^2)
26. (s^4 + 6s - 18) / (s^5 - 3s^4)
L(t^n) = n!/s^(n+1)
L(exp(at)) = 1/(s-a)
を用いる。
(s^4 + 6s - 18) / (s^5 - 3s^4)
= (s^4 + 6s - 18) / s^4(s-3)
= 6/s^4 - 1/(s-3)
= 3!/s^4 - 1/(s-3)
= L(t^3) - L(exp(3t))
= L(t^3 - exp(3t))
27. 1/(s+√2)(s-√3)
= 1/(√2 + √3) * (1/(s-√3) - 1/(s+√2))
= 1/(√2 + √3){L(exp(√3 t) - L(exp(-√2 t))}
= L{1/(√2 + √3) * (exp(√3 t)) - exp(-√2 t))}
28. 2s^3 / (s^4 - 1)
L(cos ωt) = s/(s^2 + ω^2)
L(cosh at) = s/(s^2 - a^2)
を用いる。
2s^3 / (s^4 - 1)
= s * 2s^2 / (s^2 -1)(s^2+1)
= s{1/(s^2 + 1) + 1/(s^2 - 1)}
= s/(s^2 + 1) + s/(s^2 - 1)
= L(cos t) + L(cosh t)
= L(cos t + cosh t)
2015年2月17日火曜日
問題1.1 ラプラス変換（つづき）
ラプラス変換の続き。グラフは書きません。書籍を参照してください。
9. f(t) = 1-t (0< t <1)
0 (1< t)
グラフから範囲とその時の式を立てる。あとは、ラプラス変換の公式に入れる。
L(f(t))
= ∫ (0~1) exp(-st) (1-t) dt tの範囲が1以上だと0になるのでそれ以降の式は省略
= [(-1/s exp(-st))](0~1) - ∫ (0~1) (-1/s exp(-st))’ t dt
= (-1/s exp(-s) + 1/s) - [-1/s exp(-st) t](0~1) + ∫ (0~1) (-1/s) exp(-st) dt
= -1/s exp(-s) + 1/s - (-1/s exp(-s)) - 1/s [-1/s exp(-st)](0~1)
= -1/s exp(-s) +1/s + 1/s exp(-s) - 1/s(-1/s exp(-s) + 1/s)
= 1/s + (exp(-s) -1) / s^2
10. f(t) = 0 (0< t <1)
k (1< t < 4)
0 (4 < t)
f(t)の値があるのは1~4なので、その範囲を積分する
L(f(t))
= ∫ (1~4) exp(-st) k dt
= k ∫ (1~4) exp(-st) dt
= k [-1/s exp(-st)] (1~4)
= k (-1/s exp(-4s) + 1/s exp(-t)]
= - k/s exp(-4s) + k/s exp(-t)
11. f(t) = k (0< t < c)
0 (c < t)
f(t)の値があるのは0~cなので、その範囲を積分する。
L(f(t))
= ∫ (0~c) k exp(-st) dt
= k ∫ (0~c) exp(-st) dt
= k [-1/s exp(-st)] (0~c)
= k{-1/s exp(-cs) + 1/s}
= k/s {1- exp(-cs)}
12. f(t) = t (0< t < 1)
2-t (1< t < 2)
0 (2< t)
途中でグラフが曲がっていることに注意する。
L(f(t))
= ∫ (0~1) exp(-st) t dt + ∫ (1~2) exp(-st) (2-t) dt
= ∫ (0~1) exp(-st) t dt + 2[-1/s exp(-st)] (1~2) - ∫ (1~2) exp(-st) t dt
= [-t/s exp(-st)](0~1) + 1/s ∫ (0~1) exp(-st) dt + (-2/s exp(-2s) + 2/s exp(-s)) - [-t/s exp(-st)](1~2) - 1/s ∫ (1~2) exp(-st) dt 部分積分を使った
= (-1/s exp(-s) - 0) + 1/s[-1/s exp(-st)](0~1) - 2/s exp(-2s) + 2/s exp(-s) - (-2/s exp(-2s) + 1/s exp(-s)) - 1/s[-1/s exp(-st)] (1~2)
= 1/s(-1/s exp(-s) + 1/s) - 1/s(-1/s exp(-2s) + 1/s exp(-s))
= 1/s^2 (-2exp(-s) + exp(-2s) + 1)
13. f(t) = t (0< t < k)
0 (k < t)
kまではt。k以上は０というグラフ
L(f(t))
= ∫ (0~k) exp(-st) t dt
= [-t/s exp(-st)](0~k) + 1/s ∫ (0~k) exp(-st) dt
= (-k/s exp(-ks) - 0) + 1/s[-1/s exp(-st)](0~k)
= -k/s exp(-ks) + 1/s(-1/s exp(-ks) + 1/s)
= 1/s^2 (1 - exp(-ks)) - k/s exp(-ks)
14. f(t) = t (0< t < 1)
1(1< t < 2)
0(2< t)
L(f(t)
= ∫ (0~1) exp(-st) t dt + ∫ (1~2) exp(-st) dt
= [-t/s exp(-st)](0~1) + 1/s ∫ (0~1) exp(-st) dt +[-1/s exp(-st)](1~2)
= (-1/s exp(-s) - 0) + 1/s[-1/s exp(-st)](0~1) +(-1/s exp(-2s) + 1/s exp(-s))
= -1/s^s exp(-s) + 1/s^2 - 1/s exp(-2s)
= 1/s^2(1 - exp(-s)) - 1/s exp(-2s)
15. f(t) = 1- 1/2 t (0< t < 1)
0 (1< t)
L(f(s))
= ∫ exp (-st) f(t) dt
= ∫(0~1) exp(-st) (1 - 1/2t) dt
= ∫(0~1) exp(-st) dt - 1/2∫ (0~1)t exp(-st) dt
= [-1/s exp(-st)](0~1) - 1/2 ∫ (0~1) (-1/s exp(-st))’ t dt
= (-1/s exp(-s) + 1/s) - 1/2[-1/s * t exp(-st)](0~1) + 1/2s ∫ (-1/s exp(-st))’ dt
= -1/s exp(-s) + 1/s -1/2(-1/s exp(-s)) - 1/2s [-1/s exp(-st)](0~1)
= -1/s exp(-s) + 1/s + 1/2s exp(-s) -1/2s (-1/s exp(-s) + 1/s)
= - 1/2s exp(-s) + 1/s + 1/2s^2 exp(-s) - 1/s^2
= 1/2 * (exp(-s) - 1)/s^2 - exp(-s)/2s + 1/s
16. f(t) = b/a * t (0< t < a)
= 0 (a<t)
L(f(s))
= ∫ (0~a) exp(-st) b/a t dt
= b/a ∫ (0~a) (-1/s exp(-st))’ t dt
= b/a [-t/s exp(-st)](0~a) + b/as∫ (0~a) exp(-st) dt
= b/a (-a/s exp(-sa)) + b/as [-1/s exp(-st)](0~a)
= -b/s exp(-sa) + b/as (-1/s exp(-as) + 1/s)
= -(a^2s + b)/as^2 exp(-as) + b/as^2
9. f(t) = 1-t (0< t <1)
0 (1< t)
グラフから範囲とその時の式を立てる。あとは、ラプラス変換の公式に入れる。
L(f(t))
= ∫ (0~1) exp(-st) (1-t) dt tの範囲が1以上だと0になるのでそれ以降の式は省略
= [(-1/s exp(-st))](0~1) - ∫ (0~1) (-1/s exp(-st))’ t dt
= (-1/s exp(-s) + 1/s) - [-1/s exp(-st) t](0~1) + ∫ (0~1) (-1/s) exp(-st) dt
= -1/s exp(-s) + 1/s - (-1/s exp(-s)) - 1/s [-1/s exp(-st)](0~1)
= -1/s exp(-s) +1/s + 1/s exp(-s) - 1/s(-1/s exp(-s) + 1/s)
= 1/s + (exp(-s) -1) / s^2
10. f(t) = 0 (0< t <1)
k (1< t < 4)
0 (4 < t)
f(t)の値があるのは1~4なので、その範囲を積分する
L(f(t))
= ∫ (1~4) exp(-st) k dt
= k ∫ (1~4) exp(-st) dt
= k [-1/s exp(-st)] (1~4)
= k (-1/s exp(-4s) + 1/s exp(-t)]
= - k/s exp(-4s) + k/s exp(-t)
11. f(t) = k (0< t < c)
0 (c < t)
f(t)の値があるのは0~cなので、その範囲を積分する。
L(f(t))
= ∫ (0~c) k exp(-st) dt
= k ∫ (0~c) exp(-st) dt
= k [-1/s exp(-st)] (0~c)
= k{-1/s exp(-cs) + 1/s}
= k/s {1- exp(-cs)}
12. f(t) = t (0< t < 1)
2-t (1< t < 2)
0 (2< t)
途中でグラフが曲がっていることに注意する。
L(f(t))
= ∫ (0~1) exp(-st) t dt + ∫ (1~2) exp(-st) (2-t) dt
= ∫ (0~1) exp(-st) t dt + 2[-1/s exp(-st)] (1~2) - ∫ (1~2) exp(-st) t dt
= [-t/s exp(-st)](0~1) + 1/s ∫ (0~1) exp(-st) dt + (-2/s exp(-2s) + 2/s exp(-s)) - [-t/s exp(-st)](1~2) - 1/s ∫ (1~2) exp(-st) dt 部分積分を使った
= (-1/s exp(-s) - 0) + 1/s[-1/s exp(-st)](0~1) - 2/s exp(-2s) + 2/s exp(-s) - (-2/s exp(-2s) + 1/s exp(-s)) - 1/s[-1/s exp(-st)] (1~2)
= 1/s(-1/s exp(-s) + 1/s) - 1/s(-1/s exp(-2s) + 1/s exp(-s))
= 1/s^2 (-2exp(-s) + exp(-2s) + 1)
13. f(t) = t (0< t < k)
0 (k < t)
kまではt。k以上は０というグラフ
L(f(t))
= ∫ (0~k) exp(-st) t dt
= [-t/s exp(-st)](0~k) + 1/s ∫ (0~k) exp(-st) dt
= (-k/s exp(-ks) - 0) + 1/s[-1/s exp(-st)](0~k)
= -k/s exp(-ks) + 1/s(-1/s exp(-ks) + 1/s)
= 1/s^2 (1 - exp(-ks)) - k/s exp(-ks)
14. f(t) = t (0< t < 1)
1(1< t < 2)
0(2< t)
L(f(t)
= ∫ (0~1) exp(-st) t dt + ∫ (1~2) exp(-st) dt
= [-t/s exp(-st)](0~1) + 1/s ∫ (0~1) exp(-st) dt +[-1/s exp(-st)](1~2)
= (-1/s exp(-s) - 0) + 1/s[-1/s exp(-st)](0~1) +(-1/s exp(-2s) + 1/s exp(-s))
= -1/s^s exp(-s) + 1/s^2 - 1/s exp(-2s)
= 1/s^2(1 - exp(-s)) - 1/s exp(-2s)
15. f(t) = 1- 1/2 t (0< t < 1)
0 (1< t)
L(f(s))
= ∫ exp (-st) f(t) dt
= ∫(0~1) exp(-st) (1 - 1/2t) dt
= ∫(0~1) exp(-st) dt - 1/2∫ (0~1)t exp(-st) dt
= [-1/s exp(-st)](0~1) - 1/2 ∫ (0~1) (-1/s exp(-st))’ t dt
= (-1/s exp(-s) + 1/s) - 1/2[-1/s * t exp(-st)](0~1) + 1/2s ∫ (-1/s exp(-st))’ dt
= -1/s exp(-s) + 1/s -1/2(-1/s exp(-s)) - 1/2s [-1/s exp(-st)](0~1)
= -1/s exp(-s) + 1/s + 1/2s exp(-s) -1/2s (-1/s exp(-s) + 1/s)
= - 1/2s exp(-s) + 1/s + 1/2s^2 exp(-s) - 1/s^2
= 1/2 * (exp(-s) - 1)/s^2 - exp(-s)/2s + 1/s
16. f(t) = b/a * t (0< t < a)
= 0 (a<t)
L(f(s))
= ∫ (0~a) exp(-st) b/a t dt
= b/a ∫ (0~a) (-1/s exp(-st))’ t dt
= b/a [-t/s exp(-st)](0~a) + b/as∫ (0~a) exp(-st) dt
= b/a (-a/s exp(-sa)) + b/as [-1/s exp(-st)](0~a)
= -b/s exp(-sa) + b/as (-1/s exp(-as) + 1/s)
= -(a^2s + b)/as^2 exp(-as) + b/as^2
2015年2月13日金曜日
問題1.1 ラプラス変換
次の関数のラプラス変換を求めよ。
1. 2t+6
答え自体は変換表を見れば、
2/s^2 + 6/s （注、2/s^2はs二乗分の2の意）
と、即座に答えが出るのだが、この問題の意図としては、ラプラス変換の公式に当てはめて回答せよということなので、公式に当てはめて答える。
公式 F(s) = L(f) = ∫(0~∞) exp(-st) f(t) dt （注、exp(-st)は、自然底数eの-st乗の意)
F(s) = L(2t+6)
= ∫(0~∞) exp(-st) (2t+6) dt
= 2∫(0~∞) t exp(-st) dt + 6∫(0~∞) exp(-st) dt 積分は分けて計算する
= 2∫(0~∞) t (-1/s exp(-st))’ dt + 6∫(0~∞) (-1/s exp(-st))’dt
= 2[-1/s exp(-st)](0~∞) - 2∫(0~∞) 1 (-1/s) exp(-st) dt + 6[-1/s exp(-st)](0~∞)
この部分の式変形には、部分積分法を使う。部分積分法は数IIIにあるはず。
= 2(0-0) - 2(-1/s) ∫(0~∞) (-1/s exp(-st))’ dt + 6(0 - (-1/s))
= 2/s[-1/s^2 exp(-st)](0~∞) +6/s
= 2/s^2 + 6/s
と以上のようにして、答えが出せる。t^nの場合は部分積分を使うことと、exp(-st)を微分すると -s exp(-st)となることを繰り返して使うことで解を求められる。
2. a + bt + ct^2
1と同様にすればいいので解き方は省略。
a/s + b/s^2 + 2c/s^3
3. sin(πt)
sin(x)の微分はcos(x)、cos(x)の微分は-sin(x)ということで、二回微分するともとに戻ることと、部分積分法を利用する。
F(s) = L(sin(πt))
= ∫ exp(-st) sin(πt) dt
= ∫ (-1/s exp(-st))’ sin(πt) dt
= [-1/s exp(-st) sin(πt)](0~∞) + π/s ∫ exp(-st) cos(πt) dt
= 0 + π/s ∫ (-1/s exp(-st))’ cos(πt) dt
= π/s[-1/s exp(-st) cos(πt)](0~∞) - π/s∫ (-1/s) exp(-st) (-πsin(πt)) dt
= π/s(0 - (-1/s)) - π^2/s^2 ∫ exp(-st) sin(πt) dt
= π/s^2 - π^2/s^2 L(sinπt)
つまり、L(sinπt) = π/s^2 - π^2/x^2 L(sinπt)
あとはこれを式変形して解けば良い。なので答えは
π/(s^2 + π^2)
4. (cosωt)^2
倍角の公式を使って、２乗を取ると、3番と同様の方法を用いることができる。
(cosωt)^2 = 1/2 (1 + cos 2ωt)
L(1/2 + 1/2 cos 2ωt)
= ∫ exp(-st) (1/2 + 1/2 cos 2ωt) dt
= 1/2 ∫ exp(-st) dt + 1/2 ∫ exp(-st) cos 2ωt dt
= 1/2 L(1) + 1/2 L(cos2ωt)
= 1/2s + 1/2[-1/s exp(-st) cos 2ωt] + 1/2s ∫ -2ω exp(-st) sin 2ωt dt
= 1/2s + 1/2s - ω/s ∫ exp(-st) sin 2ωt dt
= 1/s - ω/s ∫ (-1/s exp(-st))’ sin 2ωt dt
= 1/s - ω/s [-1/s exp(-st) sin 2ωt] + ω/s ∫ -1/s exp(-st) 2ω cos 2ωt dt
= 1/s - ω/s(0 - 0) - 2ω^2/s^2 L(cos2ωt)
= 1/s - 2ω^2/s^2 L(cos2ωt)
L(cos2ωt) = s/(s^2 + 4ω^2)
となるので、解は
(s^2 + 4ω^2) / s(s^2 + 4ω^2)
5. exp(a-bt)
L(exp(a-bt))
= ∫ exp(-st) exp(a-bt) dt
= ∫ exp(-st) exp(a) exp(-bt) dt
= exp(a) ∫ exp(-st-bt) dt
= exp(a) ∫ (-1/(s+b) exp(-st-bt))’ dt
= exp(a) [-1/(s+b) exp(-st-bt)]
= exp(a) / (s+b)
指数の法則をうまく使うのがコツ
ここから先は入力が少々面倒になったというか、冗長になると余計に分かりにくいので少々省略。いくつかの関数とそれらのラプラス変換の表1.1を参照して解ける程度に端折ります。
6. exp(t) cosh3t
cosh x = 1/2(exp(x) + exp(-x))
を使うと、（与式) = 1/2 exp(4t) + 1/2 exp(-2t)
L(exp(t) cosh 3t)
= L(1/2 exp(4t) + 1/2 exp(-2t))
= 1/2 L(exp(4t)) + 1/2 L(exp(-2t))
= 1/2 * 1/(s-4) + 1/2 * 1/(s+2)
= (s-1) / (s+2)(s-4)
7. sin(ωt + σ)
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
を使うと、cos σは定数になる。
L(sin (ωt + σ))
= cos σ L(sin ωt) + sin σ L(cos ωt)
= cos σ * ω/(s^2 + ω^2) + sin σ * s/(s^2 + ω^2)
= (ω cos σ + s sin σ) / (s^2 + ω^2)
8. sin 2t cos 2t
sin a cos a = 1/2 sin 2a
を使うと、sinもしくはcosひとつだけになる。
L(sin 2t cos 2t)
= L(1/2 sin 4t)
= 1/2 L(sin4t)
= 1/2 * 4 / (s^2 + 4^2)
= 2 / (s^2 + 16)
ここから先はグラフ使用のため別記事。
公式 F(s) = L(f) = ∫(0~∞) exp(-st) f(t) dt （注、exp(-st)は、自然底数eの-st乗の意)
F(s) = L(2t+6)
= ∫(0~∞) exp(-st) (2t+6) dt
= 2∫(0~∞) t exp(-st) dt + 6∫(0~∞) exp(-st) dt 積分は分けて計算する
= 2∫(0~∞) t (-1/s exp(-st))’ dt + 6∫(0~∞) (-1/s exp(-st))’dt
= 2[-1/s exp(-st)](0~∞) - 2∫(0~∞) 1 (-1/s) exp(-st) dt + 6[-1/s exp(-st)](0~∞)
この部分の式変形には、部分積分法を使う。部分積分法は数IIIにあるはず。
= 2(0-0) - 2(-1/s) ∫(0~∞) (-1/s exp(-st))’ dt + 6(0 - (-1/s))
= 2/s[-1/s^2 exp(-st)](0~∞) +6/s
= 2/s^2 + 6/s
と以上のようにして、答えが出せる。t^nの場合は部分積分を使うことと、exp(-st)を微分すると -s exp(-st)となることを繰り返して使うことで解を求められる。
2. a + bt + ct^2
1と同様にすればいいので解き方は省略。
a/s + b/s^2 + 2c/s^3
3. sin(πt)
sin(x)の微分はcos(x)、cos(x)の微分は-sin(x)ということで、二回微分するともとに戻ることと、部分積分法を利用する。
F(s) = L(sin(πt))
= ∫ exp(-st) sin(πt) dt
= ∫ (-1/s exp(-st))’ sin(πt) dt
= [-1/s exp(-st) sin(πt)](0~∞) + π/s ∫ exp(-st) cos(πt) dt
= 0 + π/s ∫ (-1/s exp(-st))’ cos(πt) dt
= π/s[-1/s exp(-st) cos(πt)](0~∞) - π/s∫ (-1/s) exp(-st) (-πsin(πt)) dt
= π/s(0 - (-1/s)) - π^2/s^2 ∫ exp(-st) sin(πt) dt
= π/s^2 - π^2/s^2 L(sinπt)
つまり、L(sinπt) = π/s^2 - π^2/x^2 L(sinπt)
あとはこれを式変形して解けば良い。なので答えは
π/(s^2 + π^2)
4. (cosωt)^2
倍角の公式を使って、２乗を取ると、3番と同様の方法を用いることができる。
(cosωt)^2 = 1/2 (1 + cos 2ωt)
L(1/2 + 1/2 cos 2ωt)
= ∫ exp(-st) (1/2 + 1/2 cos 2ωt) dt
= 1/2 ∫ exp(-st) dt + 1/2 ∫ exp(-st) cos 2ωt dt
= 1/2 L(1) + 1/2 L(cos2ωt)
= 1/2s + 1/2[-1/s exp(-st) cos 2ωt] + 1/2s ∫ -2ω exp(-st) sin 2ωt dt
= 1/2s + 1/2s - ω/s ∫ exp(-st) sin 2ωt dt
= 1/s - ω/s ∫ (-1/s exp(-st))’ sin 2ωt dt
= 1/s - ω/s [-1/s exp(-st) sin 2ωt] + ω/s ∫ -1/s exp(-st) 2ω cos 2ωt dt
= 1/s - ω/s(0 - 0) - 2ω^2/s^2 L(cos2ωt)
= 1/s - 2ω^2/s^2 L(cos2ωt)
L(cos2ωt) = s/(s^2 + 4ω^2)
となるので、解は
(s^2 + 4ω^2) / s(s^2 + 4ω^2)
5. exp(a-bt)
L(exp(a-bt))
= ∫ exp(-st) exp(a-bt) dt
= ∫ exp(-st) exp(a) exp(-bt) dt
= exp(a) ∫ exp(-st-bt) dt
= exp(a) ∫ (-1/(s+b) exp(-st-bt))’ dt
= exp(a) [-1/(s+b) exp(-st-bt)]
= exp(a) / (s+b)
指数の法則をうまく使うのがコツ
ここから先は入力が少々面倒になったというか、冗長になると余計に分かりにくいので少々省略。いくつかの関数とそれらのラプラス変換の表1.1を参照して解ける程度に端折ります。
6. exp(t) cosh3t
cosh x = 1/2(exp(x) + exp(-x))
を使うと、（与式) = 1/2 exp(4t) + 1/2 exp(-2t)
L(exp(t) cosh 3t)
= L(1/2 exp(4t) + 1/2 exp(-2t))
= 1/2 L(exp(4t)) + 1/2 L(exp(-2t))
= 1/2 * 1/(s-4) + 1/2 * 1/(s+2)
= (s-1) / (s+2)(s-4)
7. sin(ωt + σ)
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
を使うと、cos σは定数になる。
L(sin (ωt + σ))
= cos σ L(sin ωt) + sin σ L(cos ωt)
= cos σ * ω/(s^2 + ω^2) + sin σ * s/(s^2 + ω^2)
= (ω cos σ + s sin σ) / (s^2 + ω^2)
8. sin 2t cos 2t
sin a cos a = 1/2 sin 2a
を使うと、sinもしくはcosひとつだけになる。
L(sin 2t cos 2t)
= L(1/2 sin 4t)
= 1/2 L(sin4t)
= 1/2 * 4 / (s^2 + 4^2)
= 2 / (s^2 + 16)
ここから先はグラフ使用のため別記事。
2015年2月10日火曜日
フーリエ解析と偏微分方程式
はじめまして。私は、とある大学の工学部の学生です。
「技術者のための高等数学3 フーリエ解析と偏微分方程式」をとある授業で使用しています。自分で勉強するだけではもったいないので、こちらのブログに軌跡を残していきたいと思います。というか、そもそもこの教科書、困ったことに奇数番号しか答えがないという代物なので、偶数番号の答えを作っちゃえ、というのが発端です。
そして、自分自身の勉強をサボらないためというのが、サブの理由です。
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主に、問題を順に回答していく方式ですすめます。計算能力自体にはそこそこ自信がありますが、答えが本当に合っているかどうかは保証の限りではありません。訂正箇所が合った場合、メール、コメント等くださるとありがたいです。
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